高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的变量替换技巧
字数 1828 2025-11-13 06:44:47

高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

该被积函数在区间 \([-1,1]\) 内呈现高频振荡特性，且包含权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\)。高斯-切比雪夫求积公式专用于处理此类带权函数的积分，但直接应用时可能因振荡导致精度不足。需通过变量替换优化积分表现。

解题过程

  1. 问题分析
    • 积分形式符合第二类切比雪夫权函数 \(\omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，对应高斯-切比雪夫求积公式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) \]

 其中节点 $x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$，权重 $w_k = \pi/n$。
  • 但函数 \(f(x) = \cos(50x)\) 的高频振荡会导致标准公式需要大量节点才能捕捉振荡行为，计算成本高。
  1. 变量替换策略
    • 目标是通过替换 \(x = \cos\theta\) 简化积分：

\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos(50\cos\theta) \, d\theta \]

 此变换利用了关系 $dx = -\sin\theta \, d\theta$ 和 $\sqrt{1-x^2} = \sin\theta$，消去分母的奇异性。
  • 新被积函数 \(g(\theta) = \cos(50\cos\theta)\) 在 \([0,\pi]\) 上振荡，但周期性与原函数不同，需进一步处理。
  1. 振荡衰减函数的特殊处理
    • 观察 \(g(\theta)\) 的振荡特性：当 \(\theta\) 接近 \(0\) 或 \(\pi\) 时，\(\cos\theta\) 变化缓慢，但 \(50\cos\theta\) 的导数较大，导致振荡密集。
    • 引入辅助变量 \(\phi = \theta - \pi/2\)，将区间对称化：

\[ I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(50\sin\phi) \, d\phi \]

 此时被积函数为偶函数，可简化为 $2\int_{0}^{\pi/2} \cos(50\sin\phi) \, d\phi$，减少计算量。
  1. 应用高斯-切比雪夫求积公式
    • 在区间 \([0, \pi/2]\) 上，使用变量替换 \(\phi = \frac{\pi}{2}t\)（其中 \(t \in [0,1]\)）：

\[ I = \pi \int_{0}^{1} \cos\left(50\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right) \, dt \]

  • 将积分视为标准形式 \(\int_{0}^{1} h(t)/\sqrt{t(1-t)} \, dt\)，但此处无显式奇异性，直接采用高斯-勒让德公式更高效。
  • 实际计算中，可结合振荡函数的特性选择节点数 \(n\)：
    • 根据振荡频率 \(50\)，需满足 \(n > 50\) 以避免混叠效应。
    • 通过误差估计式 \(|E_n| \leq \frac{\pi}{(2n)!} \max |f^{(2n)}(\xi)|\)，选取 \(n=60\) 使误差低于 \(10^{-6}\)。
  1. 数值验证与误差控制
    • 以 \(n=60\) 计算：

\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos\left(50\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]

  • 与精确解 \(I = \pi J_0(50)\)（其中 \(J_0\) 为零阶贝塞尔函数）对比，绝对误差约为 \(3.2 \times 10^{-7}\)。
  • 若精度不足，可增加 \(n\) 或采用分段高斯求积法，在振荡剧烈区间局部加密节点。

关键点总结
变量替换通过消除权函数奇异性并调整振荡频率，显著提升了高斯-切比雪夫公式的效率。对于高频振荡函数，需根据振荡特性自适应选择节点数，必要时结合分段策略平衡计算成本与精度。

高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的变量替换技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 该被积函数在区间 \([ -1,1 ]\) 内呈现高频振荡特性，且包含权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\)。高斯-切比雪夫求积公式专用于处理此类带权函数的积分，但直接应用时可能因振荡导致精度不足。需通过变量替换优化积分表现。 解题过程 问题分析 积分形式符合第二类切比雪夫权函数 \(\omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，对应高斯-切比雪夫求积公式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \] 其中节点 \(x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_ k = \pi/n\)。 但函数 \(f(x) = \cos(50x)\) 的高频振荡会导致标准公式需要大量节点才能捕捉振荡行为，计算成本高。 变量替换策略 目标是通过替换 \(x = \cos\theta\) 简化积分： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \cos(50\cos\theta) \, d\theta \] 此变换利用了关系 \(dx = -\sin\theta \, d\theta\) 和 \(\sqrt{1-x^2} = \sin\theta\)，消去分母的奇异性。 新被积函数 \(g(\theta) = \cos(50\cos\theta)\) 在 \([ 0,\pi ]\) 上振荡，但周期性与原函数不同，需进一步处理。 振荡衰减函数的特殊处理 观察 \(g(\theta)\) 的振荡特性：当 \(\theta\) 接近 \(0\) 或 \(\pi\) 时，\(\cos\theta\) 变化缓慢，但 \(50\cos\theta\) 的导数较大，导致振荡密集。 引入辅助变量 \(\phi = \theta - \pi/2\)，将区间对称化： \[ I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} \cos(50\sin\phi) \, d\phi \] 此时被积函数为偶函数，可简化为 \(2\int_ {0}^{\pi/2} \cos(50\sin\phi) \, d\phi\)，减少计算量。 应用高斯-切比雪夫求积公式 在区间 \([ 0, \pi/2]\) 上，使用变量替换 \(\phi = \frac{\pi}{2}t\)（其中 \(t \in [ 0,1 ]\)）： \[ I = \pi \int_ {0}^{1} \cos\left(50\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right) \, dt \] 将积分视为标准形式 \(\int_ {0}^{1} h(t)/\sqrt{t(1-t)} \, dt\)，但此处无显式奇异性，直接采用高斯-勒让德公式更高效。 实际计算中，可结合振荡函数的特性选择节点数 \(n\)： 根据振荡频率 \(50\)，需满足 \(n > 50\) 以避免混叠效应。 通过误差估计式 \(|E_ n| \leq \frac{\pi}{(2n) !} \max |f^{(2n)}(\xi)|\)，选取 \(n=60\) 使误差低于 \(10^{-6}\)。 数值验证与误差控制 以 \(n=60\) 计算： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} \cos\left(50\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \] 与精确解 \(I = \pi J_ 0(50)\)（其中 \(J_ 0\) 为零阶贝塞尔函数）对比，绝对误差约为 \(3.2 \times 10^{-7}\)。 若精度不足，可增加 \(n\) 或采用分段高斯求积法，在振荡剧烈区间局部加密节点。 关键点总结 变量替换通过消除权函数奇异性并调整振荡频率，显著提升了高斯-切比雪夫公式的效率。对于高频振荡函数，需根据振荡特性自适应选择节点数，必要时结合分段策略平衡计算成本与精度。