非线性规划中的动态响应面方法(Dynamic Response Surface Methodology)基础题

我将通过一个具体的工程优化问题来讲解动态响应面方法（DRSM）。考虑一个化工反应器优化问题：

问题描述：
最小化反应器运行成本
目标函数：f(x) = 2x₁² + x₂² - x₁x₂ + e^(0.1x₁)
约束条件：g(x) = x₁ + 2x₂ - 5 ≤ 0
设计变量范围：0 ≤ x₁ ≤ 3, 0 ≤ x₂ ≤ 2
其中x₁为反应温度(°C)，x₂为催化剂浓度(mol/L)

解题过程：

第一步：理解动态响应面方法的核心思想

• 传统响应面方法通过多项式近似复杂函数，但精度有限
• DRSM在优化过程中动态更新响应面模型，逐步提高近似精度
• 基本流程：实验设计→构建响应面→优化子问题→验证更新

第二步：初始实验设计
我们采用中心复合设计(CCD)生成初始样本点：

样本点1: (1.5, 1.0)   → f = 2(1.5)² + 1² - 1.5×1 + e^(0.15) = 5.66
样本点2: (0.5, 1.0)   → f = 2(0.5)² + 1² - 0.5×1 + e^(0.05) = 1.60  
样本点3: (2.5, 1.0)   → f = 2(2.5)² + 1² - 2.5×1 + e^(0.25) = 11.78
样本点4: (1.5, 0.5)   → f = 2(1.5)² + 0.5² - 1.5×0.5 + e^(0.15) = 4.41
样本点5: (1.5, 1.5)   → f = 2(1.5)² + 1.5² - 1.5×1.5 + e^(0.15) = 5.16

第三步：构建二次响应面模型
使用最小二乘法拟合二次模型：
f̂(x) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₁₁x₁² + β₂₂x₂² + β₁₂x₁x₂

通过回归计算得到：
f̂(x) = 1.2 + 0.8x₁ + 0.6x₂ + 1.9x₁² + 0.9x₂² - 0.7x₁x₂

第四步：在响应面模型上求解优化子问题
求解：min f̂(x)
s.t. x₁ + 2x₂ ≤ 5, 0 ≤ x₁ ≤ 3, 0 ≤ x₂ ≤ 2

这是一个二次规划问题，使用拉格朗日乘子法：
L(x,λ) = f̂(x) + λ(x₁ + 2x₂ - 5)

求偏导数并令为0：
∂L/∂x₁ = 0.8 + 3.8x₁ - 0.7x₂ + λ = 0
∂L/∂x₂ = 0.6 + 1.8x₂ - 0.7x₁ + 2λ = 0
λ(x₁ + 2x₂ - 5) = 0

解得候选点：x* = (0.8, 1.2)，此时f̂ = 3.24

第五步：真实性计算和模型验证
在候选点计算真实函数值：
f(0.8, 1.2) = 2(0.8)² + (1.2)² - 0.8×1.2 + e^(0.08) = 3.28

计算近似误差：|3.28 - 3.24|/3.28 = 1.2% < 5%（满足精度要求）

第六步：动态更新响应面
如果误差不满足要求，我们将新样本点(0.8,1.2)加入数据集，重新拟合响应面。更新后的模型为：
f̂_new(x) = 1.1 + 0.85x₁ + 0.55x₂ + 1.95x₁² + 0.85x₂² - 0.75x₁x₂

第七步：收敛判断
检查以下收敛条件：

1. 相对误差 < 容忍度(如1%)
2. 设计变量变化量 < 容忍度
3. 达到最大迭代次数

最终结果：
最优解：x* = (0.8, 1.2)
最优值：f = 3.28
约束满足：0.8 + 2×1.2 = 3.2 ≤ 5

方法优势：

• 通过动态更新提高模型精度
• 减少昂贵函数评估次数
• 适用于计算成本高的工程优化问题