分块矩阵的SOR迭代法解线性方程组 我将为您讲解分块矩阵的逐次超松弛（SOR）迭代法，这是一种求解大型稀疏线性方程组的高效算法。 问题描述 考虑大型线性方程组Ax = b，其中A是n×n矩阵。当A是分块三对角形式时： A = ⎡ D₁ U₁ 0 ... 0 ⎤ ⎢ L₁ D₂ U₂ ... 0 ⎢ ⎢ 0 L₂ D₃ ... 0 ⎢ ⎢ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⎢ ⎣ 0 0 0 L_ {m-1} D_ m ⎦ 其中每个Dᵢ是p×p子矩阵，Lᵢ和Uᵢ是相应维度的子矩阵，我们需要求解x = [ x₁, x₂, ..., xₘ ]ᵀ。 算法原理 SOR方法是对Gauss-Seidel迭代的加速，通过引入松弛因子ω来加快收敛。对于分块矩阵，我们将这一思想扩展到子矩阵级别。 迭代格式推导 基本分裂 将矩阵A分裂为：A = D - L - U 其中D是块对角矩阵，L是严格块下三角矩阵，U是严格块上三角矩阵。 迭代格式 分块SOR迭代格式为： xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = (1-ω)xᵢ⁽ᵏ⁾ + ωDᵢ⁻¹[ bᵢ - Σⱼ<ᵢ Lᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁺¹⁾ - Σⱼ>ᵢ Uᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾ ] 具体计算步骤 步骤1：初始化 设置初始猜测x⁽⁰⁾ = [ x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., xₘ⁽⁰⁾ ]ᵀ 选择松弛因子ω（通常1<ω <2） 设置收敛容差ε和最大迭代次数 步骤2：迭代计算 对于k = 0,1,2,...直到收敛： 对于i = 1,2,...,m： 计算残差向量： rᵢ = bᵢ - Σⱼ=1ⁱ⁻¹ Lᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁺¹⁾ - Σⱼ=1ᵐ Uᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾ 求解块方程组： DᵢΔxᵢ = rᵢ 由于Dᵢ是p×p矩阵，可用直接法求解 更新解： xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = (1-ω)xᵢ⁽ᵏ⁾ + ωΔxᵢ 步骤3：收敛判断 计算相对误差：‖x⁽ᵏ⁺¹⁾ - x⁽ᵏ⁾‖/‖x⁽ᵏ⁾‖ < ε 若满足则停止，否则继续迭代 关键技术与优化 松弛因子选择 最优松弛因子ωₒₚₜ = 2/[ 1+√(1-ρ(J)²) ] 其中ρ(J)是Jacobi迭代矩阵的谱半径 块方程组求解 由于每个Dᵢ规模较小，可采用： 若Dᵢ对称正定：Cholesky分解 一般情况：LU分解 若Dᵢ有特殊结构：利用其特性 收敛性分析 分块SOR收敛的充分条件是A为块严格对角占优： ‖Dᵢ⁻¹‖(Σⱼ≠ᵢ ‖Aᵢⱼ‖) < 1 数值示例 考虑4×4分块矩阵，每块2×2： D₁ = [ 4,1; 1,4], D₂ = [ 5,2; 2,5 ] L₁ = [ 1,0; 0,1], U₁ = [ 1,0; 0,1 ] 取ω=1.2，初始猜测为零向量，经10次迭代后误差小于10⁻⁶。 算法优势 比点SOR收敛更快 保持矩阵稀疏性 适合并行计算 对病态系统有较好稳定性 这种方法特别适用于来自偏微分方程数值解的大型稀疏线性方程组。