核岭回归（Kernel Ridge Regression）的原理与计算过程
字数 1991 2025-11-13 03:14:24

核岭回归（Kernel Ridge Regression）的原理与计算过程

题目描述
核岭回归（Kernel Ridge Regression, KRR）是一种结合核技巧与岭回归正则化项的监督学习算法，用于解决非线性回归问题。其核心思想是通过核函数将原始特征映射到高维特征空间，并在该空间中执行岭回归，从而避免显式的高维计算。题目要求详细解释KRR的数学模型构建、核函数应用、正则化处理以及参数求解过程。

解题过程

  1. 问题建模与目标函数
    • 给定训练集 \(\{ (x_i, y_i) \}_{i=1}^n\)（\(x_i \in \mathbb{R}^d\), \(y_i \in \mathbb{R}\)），KRR的目标是学习非线性映射 \(f(x) = \langle w, \phi(x) \rangle + b\)，其中 \(\phi(\cdot)\) 是将输入映射到高维特征空间的函数。
    • 通过岭回归的优化目标引入正则化项，防止过拟合：

\[ \min_{w,b} \sum_{i=1}^n (y_i - \langle w, \phi(x_i) \rangle - b)^2 + \lambda \|w\|^2 \]

 这里 $ \lambda > 0 $ 是正则化系数，控制模型复杂度。

  1. 核技巧的应用

    • 直接计算 \(\phi(x)\) 可能维度极高（例如无穷维），因此使用核函数 \(K(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle\) 隐式表达内积。常用核函数包括高斯核 \(K(x_i, x_j) = \exp(-\gamma \|x_i - x_j\|^2)\) 和多项式核。
    • 根据表示定理，最优解 \(w\) 可表示为 \(w = \sum_{i=1}^n \alpha_i \phi(x_i)\)，将问题转化为求解系数 \(\alpha = [\alpha_1, \dots, \alpha_n]^\top\)。

  2. 目标函数的重构

    • 将 \(f(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i K(x, x_i) + b\) 代入原问题，并令 \(K\) 为核矩阵（\(K_{ij} = K(x_i, x_j)\)），目标函数改写为：

\[ \min_{\alpha,b} \|y - K\alpha - b\mathbf{1}_n\|^2 + \lambda \alpha^\top K\alpha \]

 其中 $ \mathbf{1}_n $ 是长度为 $ n $ 的全1向量。
  1. 偏置项的处理
    • 为简化计算，通常对数据去中心化（即预先减去均值），或通过扩展核矩阵隐式处理偏置。一种通用方法是将目标函数对 \(b\) 求偏导并令导数为零，得到 \(b = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \sum_{j=1}^n \alpha_j K(x_i, x_j))\)。
    • 代入后可消去 \(b\)，最终问题简化为：

\[ \min_{\alpha} \|y - \tilde{K}\alpha\|^2 + \lambda \alpha^\top K\alpha \]

 其中 $ \tilde{K} $ 是中心化后的核矩阵（具体计算依赖中心化方法）。
  1. 闭式解的推导
    • 对 \(\alpha\) 求导并令导数为零，得到线性方程组：

\[ (K + \lambda I_n) \alpha = y \]

 若未中心化，方程为 $ (K + \lambda I_n) \alpha = y - b\mathbf{1}_n $，需与 $ b $ 的表达式联立求解。
  • 最终解为 \(\alpha = (K + \lambda I_n)^{-1} y\)（假设数据已中心化）。
  1. 预测与新样本处理
    • 对于新样本 \(x_{\text{new}}\)，预测值为：

\[ f(x_{\text{new}}) = \sum_{i=1}^n \alpha_i K(x_{\text{new}}, x_i) + b \]

  • 若训练时未中心化，需在预测时对 \(K(x_{\text{new}}, x_i)\) 进行相同的中心化处理。

关键点总结

  • KRR通过核函数隐式实现非线性映射，结合岭回归正则化保证数值稳定性。
  • 求解过程依赖核矩阵的逆，时间复杂度为 \(O(n^3)\)，适用于中小规模数据。
  • 超参数 \(\lambda\) 和核参数（如高斯核的 \(\gamma\)）需通过交叉验证优化。
核岭回归（Kernel Ridge Regression）的原理与计算过程 题目描述 核岭回归（Kernel Ridge Regression, KRR）是一种结合核技巧与岭回归正则化项的监督学习算法，用于解决非线性回归问题。其核心思想是通过核函数将原始特征映射到高维特征空间，并在该空间中执行岭回归，从而避免显式的高维计算。题目要求详细解释KRR的数学模型构建、核函数应用、正则化处理以及参数求解过程。 解题过程 问题建模与目标函数 给定训练集 \( \{ (x_ i, y_ i) \}_ {i=1}^n \)（\( x_ i \in \mathbb{R}^d \), \( y_ i \in \mathbb{R} \)），KRR的目标是学习非线性映射 \( f(x) = \langle w, \phi(x) \rangle + b \)，其中 \( \phi(\cdot) \) 是将输入映射到高维特征空间的函数。 通过岭回归的优化目标引入正则化项，防止过拟合： \[ \min_ {w,b} \sum_ {i=1}^n (y_ i - \langle w, \phi(x_ i) \rangle - b)^2 + \lambda \|w\|^2 \] 这里 \( \lambda > 0 \) 是正则化系数，控制模型复杂度。 核技巧的应用 直接计算 \( \phi(x) \) 可能维度极高（例如无穷维），因此使用核函数 \( K(x_ i, x_ j) = \langle \phi(x_ i), \phi(x_ j) \rangle \) 隐式表达内积。常用核函数包括高斯核 \( K(x_ i, x_ j) = \exp(-\gamma \|x_ i - x_ j\|^2) \) 和多项式核。 根据表示定理，最优解 \( w \) 可表示为 \( w = \sum_ {i=1}^n \alpha_ i \phi(x_ i) \)，将问题转化为求解系数 \( \alpha = [ \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n ]^\top \)。 目标函数的重构 将 \( f(x) = \sum_ {i=1}^n \alpha_ i K(x, x_ i) + b \) 代入原问题，并令 \( K \) 为核矩阵（\( K_ {ij} = K(x_ i, x_ j) \)），目标函数改写为： \[ \min_ {\alpha,b} \|y - K\alpha - b\mathbf{1}_ n\|^2 + \lambda \alpha^\top K\alpha \] 其中 \( \mathbf{1}_ n \) 是长度为 \( n \) 的全1向量。 偏置项的处理 为简化计算，通常对数据去中心化（即预先减去均值），或通过扩展核矩阵隐式处理偏置。一种通用方法是将目标函数对 \( b \) 求偏导并令导数为零，得到 \( b = \frac{1}{n} \sum_ {i=1}^n (y_ i - \sum_ {j=1}^n \alpha_ j K(x_ i, x_ j)) \)。 代入后可消去 \( b \)，最终问题简化为： \[ \min_ {\alpha} \|y - \tilde{K}\alpha\|^2 + \lambda \alpha^\top K\alpha \] 其中 \( \tilde{K} \) 是中心化后的核矩阵（具体计算依赖中心化方法）。 闭式解的推导 对 \( \alpha \) 求导并令导数为零，得到线性方程组： \[ (K + \lambda I_ n) \alpha = y \] 若未中心化，方程为 \( (K + \lambda I_ n) \alpha = y - b\mathbf{1}_ n \)，需与 \( b \) 的表达式联立求解。 最终解为 \( \alpha = (K + \lambda I_ n)^{-1} y \)（假设数据已中心化）。 预测与新样本处理 对于新样本 \( x_ {\text{new}} \)，预测值为： \[ f(x_ {\text{new}}) = \sum_ {i=1}^n \alpha_ i K(x_ {\text{new}}, x_ i) + b \] 若训练时未中心化，需在预测时对 \( K(x_ {\text{new}}, x_ i) \) 进行相同的中心化处理。 关键点总结 KRR通过核函数隐式实现非线性映射，结合岭回归正则化保证数值稳定性。 求解过程依赖核矩阵的逆，时间复杂度为 \( O(n^3) \)，适用于中小规模数据。 超参数 \( \lambda \) 和核参数（如高斯核的 \( \gamma \)）需通过交叉验证优化。