石子游戏 II

字数 1026 2025-11-13 02:21:41

石子游戏 II

题目描述：
给定一个整数数组 piles，表示一排石堆，其中 piles[i] 表示第 i 堆石子的数量。Alice 和 Bob 轮流进行回合，Alice 先手。在每个回合中，玩家可以取走前 X 堆石子，其中 1 <= X <= 2M，然后设置 M = max(M, X)。游戏持续到所有石子都被取完。假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，返回 Alice 可以获得的最大石子数量。

解题过程：

问题分析：
- 这是一个博弈类区间动态规划问题，玩家每次可以从剩余石堆的开头取走 1 到 2M 堆石子。
- 状态需要包含：当前剩余石堆的起始位置和当前的 M 值。
状态定义：
- 定义 dp[i][m] 表示从第 i 堆石子开始，当前 M 值为 m 时，当前玩家能获得的最大石子数量。
- 由于数组长度可能很大，我们需要优化状态表示。
前缀和优化：
- 预处理前缀和数组 prefix，其中 prefix[i] 表示从第 0 堆到第 i-1 堆石子的总和。
- 这样，从第 i 堆到第 j-1 堆的石子总数可以快速计算为 prefix[j] - prefix[i]。
状态转移：
- 对于状态 dp[i][m]，当前玩家可以取走 x 堆石子，其中 1 <= x <= 2m。
- 取走前 x 堆石子后，获得石子总数为 prefix[i+x] - prefix[i]。
- 下一个状态是 dp[i+x][max(m, x)]，表示对手在剩余石子上的最优表现。
- 状态转移方程：dp[i][m] = max(当前获得石子数 + 剩余石子总数 - 对手最优解)
具体实现：
- 使用记忆化搜索或自底向上的 DP。
- 基础情况：当 i == n（没有剩余石子）时，返回 0。
- 对于每个位置 i 和 m 值，遍历所有可能的 x（1 <= x <= 2m），计算当前选择的最优解。
时间复杂度优化：
- 直接实现的时间复杂度是 O(n³)，可能超时。
- 优化：当 x 较大时，当前玩家可以直接取走所有剩余石子，提前终止循环。
最终结果：
- 初始状态是 dp[0][1]，表示从第 0 堆开始，M 初始值为 1。
- Alice 能获得的最大石子数量就是 dp[0][1]。

通过这个详细的步骤，我们可以系统地解决石子游戏 II 问题，确保在双方都采取最优策略的情况下，计算出 Alice 能获得的最大石子数量。

石子游戏 II 题目描述：给定一个整数数组 piles ，表示一排石堆，其中 piles[i] 表示第 i 堆石子的数量。Alice 和 Bob 轮流进行回合，Alice 先手。在每个回合中，玩家可以取走前 X 堆石子，其中 1 <= X <= 2M ，然后设置 M = max(M, X) 。游戏持续到所有石子都被取完。假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，返回 Alice 可以获得的最大石子数量。解题过程：问题分析：这是一个博弈类区间动态规划问题，玩家每次可以从剩余石堆的开头取走 1 到 2M 堆石子。状态需要包含：当前剩余石堆的起始位置和当前的 M 值。状态定义：定义 dp[i][m] 表示从第 i 堆石子开始，当前 M 值为 m 时，当前玩家能获得的最大石子数量。由于数组长度可能很大，我们需要优化状态表示。前缀和优化：预处理前缀和数组 prefix ，其中 prefix[i] 表示从第 0 堆到第 i-1 堆石子的总和。这样，从第 i 堆到第 j-1 堆的石子总数可以快速计算为 prefix[j] - prefix[i] 。状态转移：对于状态 dp[i][m] ，当前玩家可以取走 x 堆石子，其中 1 <= x <= 2m 。取走前 x 堆石子后，获得石子总数为 prefix[i+x] - prefix[i] 。下一个状态是 dp[i+x][max(m, x)] ，表示对手在剩余石子上的最优表现。状态转移方程： dp[i][m] = max(当前获得石子数 + 剩余石子总数 - 对手最优解) 具体实现：使用记忆化搜索或自底向上的 DP。基础情况：当 i == n （没有剩余石子）时，返回 0。对于每个位置 i 和 m 值，遍历所有可能的 x（1 <= x <= 2m），计算当前选择的最优解。时间复杂度优化：直接实现的时间复杂度是 O(n³)，可能超时。优化：当 x 较大时，当前玩家可以直接取走所有剩余石子，提前终止循环。最终结果：初始状态是 dp[0][1] ，表示从第 0 堆开始，M 初始值为 1。 Alice 能获得的最大石子数量就是 dp[0][1] 。通过这个详细的步骤，我们可以系统地解决石子游戏 II 问题，确保在双方都采取最优策略的情况下，计算出 Alice 能获得的最大石子数量。