龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的正则化变换技巧 我将为您详细讲解龙贝格积分法在处理带奇异点函数积分时的正则化变换技巧。这是一个结合了外推加速和奇异性处理的重要数值积分方法。 问题描述 考虑计算定积分： ∫₀¹ f(x)/√x dx 其中f(x)在[ 0,1 ]上充分光滑，但在x=0处存在1/√x类型的奇异点。直接应用龙贝格积分法会因奇异性导致收敛缓慢甚至发散。 解题过程 第一步：理解奇异性本质 被积函数g(x)=f(x)/√x在x=0处趋于无穷大，属于代数奇异性。这种奇异性会导致： 标准数值积分公式精度严重下降 龙贝格外推的收敛速度显著降低 可能需要大量细分才能达到所需精度 第二步：正则化变换原理 通过变量替换消除奇异性。设x=t²，则： dx = 2t dt 当x=0时，t=0；当x=1时，t=1 原积分变为：∫₀¹ f(t²)/t × 2t dt = 2∫₀¹ f(t²) dt 第三步：变换后分析 变换后的被积函数h(t)=2f(t²)在[ 0,1 ]上变得光滑： 消除了1/√x奇异性 函数在区间端点有界 高阶导数行为改善 第四步：龙贝格积分法应用 对变换后的积分应用标准龙贝格算法： 梯形序列构造 T₁₀ = (b-a)/2 × [ h(a)+h(b)] = 1/2 × [ h(0)+h(1) ] T₂₀ = 1/2 × T₁₀ + 1/2 × h(1/2) T₄₀ = 1/2 × T₂₀ + 1/4 × [ h(1/4)+h(3/4) ] 以此递推 Richardson外推表 构建T表： T₀₀ = T₁₀ T₁₀ = T₂₀, T₁₁ = (4T₁₀ - T₀₀)/3 T₂₀ = T₄₀, T₂₁ = (4T₂₀ - T₁₀)/3, T₂₂ = (16T₂₁ - T₁₁)/15 通式：Tₖ,ₘ = (4ᵐTₖ,ₘ₋₁ - Tₖ₋₁,ₘ₋₁)/(4ᵐ-1) 第五步：误差控制与收敛判断 比较相邻外推结果：|Tₖ,ₖ - Tₖ₋₁,ₖ₋₁| < ε 检查外推表的对角线收敛性 由于消除了奇异性，收敛速度恢复O(h²ᵏ) 第六步：实例验证 设f(x)=eˣ，计算∫₀¹ eˣ/√x dx 正则化变换 ：x=t²，积分变为2∫₀¹ eᵗ² dt 精确解 ：通过特殊函数可得约3.104379 龙贝格计算 ： T₀₀ = 1/2 × [ 2e⁰ + 2e¹ ] = 1+2e ≈ 6.43656 T₁₀ = 1/2 × T₀₀ + 1/2 × 2e¹/⁴ ≈ 4.25897 T₁₁ = (4×4.25897-6.43656)/3 ≈ 3.46644 继续迭代至收敛 第七步：变换技巧推广 对于其他类型奇异性： ∫₀¹ f(x)/xᵖ dx (0<p <1)：令x=t¹/⁽¹⁻ᵖ⁾ ∫₀¹ f(x)lnx dx：分部积分或特殊变换 ∫₀¹ f(x)/(1-x)ᵖ dx：类似处理 关键优势 将奇异积分转化为正则积分 保持龙贝格法的高收敛阶 计算量远小于直接处理奇异积分 可结合其他加速技术进一步优化 这种方法的核心思想是通过分析奇异性的数学结构，设计合适的变量替换来消除奇异性，从而充分发挥龙贝格积分法的高精度优势。