蒙特卡洛积分法在金融衍生品定价中的应用 题目描述 假设需要计算一个欧式看涨期权的理论价格，其到期收益函数为 \( \max(S_ T - K, 0) \)，其中 \( S_ T \) 是标的资产在到期日 \( T \) 的价格，\( K \) 是行权价。根据风险中性定价原理，期权价格可表示为： \[ C = e^{-rT} \mathbb{E}[ \max(S_ T - K, 0) ] \] 其中 \( r \) 是无风险利率，\( \mathbb{E}[ \cdot] \) 表示风险中性测度下的期望。若 \( S_ T \) 服从几何布朗运动 \( S_ T = S_ 0 e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z} \)（\( Z \sim \mathcal{N}(0,1) \)），试通过蒙特卡洛积分法计算该期权的价格。 解题过程 1. 问题转化与随机变量生成 首先将期权定价问题转化为蒙特卡洛积分问题。定义函数： \[ f(Z) = e^{-rT} \max\left(S_ 0 e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z} - K, 0\right) \] 需计算期望 \( \mathbb{E}[ f(Z)] \)。蒙特卡洛法通过生成大量标准正态随机样本 \( Z_ i \) 来近似该期望： \[ C \approx \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^{N} f(Z_ i) \] 2. 生成随机样本 生成 \( N \) 个独立同分布的标准正态随机变量 \( Z_ 1, Z_ 2, \dots, Z_ N \)。 常用方法：使用Box-Muller变换或反函数法（对均匀随机数应用标准正态分布的反函数）。 3. 计算样本函数值 对每个 \( Z_ i \)，计算： \[ S_ T^{(i)} = S_ 0 \exp\left[ (r - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z_ i\right ] \] \[ f(Z_ i) = e^{-rT} \max(S_ T^{(i)} - K, 0) \] 4. 蒙特卡洛估计与误差分析 期权价格的蒙特卡洛估计为： \[ \hat{C} N = \frac{1}{N} \sum {i=1}^{N} f(Z_ i) \] 蒙特卡洛估计的误差由标准差控制： \[ \text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{N}}, \quad s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_ {i=1}^{N} \left(f(Z_ i) - \hat{C}_ N\right)^2 \] 根据大数定律，当 \( N \to \infty \) 时，\( \hat{C}_ N \) 以概率1收敛到真实价格 \( C \)。 5. 方差缩减技术的应用（重要性采样） 为提高收敛速度，可采用重要性采样调整随机变量的分布。例如，若期权为价内期权，可通过对数正态分布的中心调整，使更多样本落在收益非零区域： 定义新分布 \( \tilde{Z} \sim \mathcal{N}(\mu_ s, 1) \)，其概率密度函数为 \( g(z) \)。 调整期望计算： \[ C = \mathbb{E}[ f(Z) ] = \int f(z) \phi(z) \, dz = \int \frac{f(z) \phi(z)}{g(z)} g(z) \, dz \] 其中 \( \phi(z) \) 是标准正态密度函数。 选择 \( \mu_ s \) 使 \( g(z) \) 的峰值接近 \( f(z) \) 的主要贡献区域，例如设 \( \mu_ s = \frac{\ln(K/S_ 0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} \)。 最终估计： \[ \hat{C} N^{\text{IS}} = \frac{1}{N} \sum {i=1}^{N} \frac{f(\tilde{Z}_ i) \phi(\tilde{Z}_ i)}{g(\tilde{Z}_ i)} \] 6. 数值实验与收敛验证 设定参数：\( S_ 0 = 100, K = 105, r = 0.05, \sigma = 0.2, T = 1 \)。 分别用普通蒙特卡洛和重要性采样计算，比较收敛速度。 绘制误差随样本数 \( N \) 的变化曲线，验证 \( O(1/\sqrt{N}) \) 的收敛阶。 总结 蒙特卡洛积分法通过随机采样将金融衍生品定价问题转化为高维积分计算，适用于复杂收益函数或多资产情形。通过方差缩减技术（如重要性采样）可显著提升计算效率，为实际金融工程应用提供可靠工具。