排序算法之：图书馆排序（Library Sort）的插入优化策略与间隙维护机制

题目描述：
图书馆排序是一种基于插入排序的改进算法，通过在有序列中预留间隙（Gaps）来减少插入元素时的数据移动次数。其核心思想模拟图书馆书架预留空位插入新书的过程，在有序序列中均匀分布间隙，使得新元素插入时只需移动少量元素。我们将重点探讨其间隙维护机制和插入优化策略。

解题过程：

1. 基本思想与间隙初始化

   • 首先确定间隙密度因子ε（通常取0.5-1.0），表示间隙占总空间的比例
   • 初始化长度为(1+ε)n的数组，其中n为待排序元素个数
   • 将元素和间隙交替排列：在每两个相邻元素间预留⌈1/ε⌉-1个间隙位置
   • 例如ε=1时，数组布局为：[元素1, 间隙, 元素2, 间隙, 元素3, 间隙...]

2. 插入操作的优化策略

   • 当需要插入新元素时，首先在有序序列中进行二分查找，确定插入位置
   • 如果目标位置是间隙，直接放入元素
   • 如果目标位置已有元素，则寻找最近的可用间隙：
     a. 向两侧搜索最近的间隙
     b. 将目标位置到该间隙之间的所有元素整体移动一位
     c. 腾出位置后插入新元素

3. 间隙重平衡机制

   • 当某个区域的间隙耗尽时，触发重平衡操作
   • 重新均匀分布间隙：将元素重新排列，使间隙均匀分布
   • 重平衡策略：
     a. 扫描整个数组，收集所有元素
     b. 按照当前间隙密度重新计算分布
     c. 将元素和间隙重新布局到数组中

4. 具体实现步骤

   def library_sort(arr, epsilon=0.5):
       n = len(arr)
       size = int((1 + epsilon) * n)  # 扩展数组大小
       lib = [None] * size  # 初始化图书馆数组
   
       # 初始布局：交替放置元素和间隙
       for i in range(n):
           lib[2*i] = arr[i]  # 偶数位置放元素
           # 奇数位置自动为间隙(None)
   
       # 对已有元素进行排序（使用二分插入排序）
       sorted_count = 1
       for i in range(1, n):
           # 在已排序部分中二分查找插入位置
           pos = binary_search(lib, 2*i, sorted_count)
   
           if lib[pos] is None:  # 目标位置是间隙
               lib[pos] = arr[i]
           else:  # 需要移动元素腾出空间
               # 寻找最近的间隙
               gap_pos = find_nearest_gap(lib, pos, size)
               # 移动元素序列
               shift_elements(lib, pos, gap_pos)
               lib[pos] = arr[i]
   
           sorted_count += 1
   
           # 检查是否需要重平衡
           if needs_rebalance(lib, sorted_count):
               rebalance(lib, sorted_count, epsilon)
   
       # 收集排序结果
       return [x for x in lib if x is not None]
   

5. 关键辅助函数详解

   • binary_search: 在已排序的有序序列中进行二分查找
   • find_nearest_gap: 在指定位置附近寻找最近的可用间隙
   • shift_elements: 将元素序列整体移动，保持相对顺序
   • needs_rebalance: 检查间隙分布是否均衡（如最大连续元素数超过阈值）
   • rebalance: 执行重平衡操作，重新分布间隙

6. 性能分析

   • 时间复杂度：平均O(n log n)，最坏情况O(n²)
   • 空间复杂度：O(εn)的额外空间
   • 优势：相比传统插入排序，大幅减少了元素移动次数
   • 适用场景：适用于插入操作频繁或元素移动成本高的场景

通过这种间隙维护机制，图书馆排序在保持插入排序简单性的同时，显著提升了插入效率，特别适合部分有序或需要频繁插入新元素的场景。