深度学习中的优化器之SGD with Projected Gradient（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节

题目描述
在深度学习中，随机梯度下降（SGD）是训练神经网络的基础优化算法。然而，当优化问题包含约束条件时，标准SGD无法保证参数更新后仍满足约束。SGD with Projected Gradient（带梯度投影的随机梯度下降）通过引入投影操作，将参数映射到可行域内，确保每次更新后参数均符合约束条件。本题目将详细解释该算法的原理、投影操作的设计方法及其实现细节。

解题过程

1. 问题背景与标准SGD的局限性
   • 标准SGD的更新公式为：

\[ \theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t) \]

 其中 $\theta_t$ 是参数，$\eta$ 是学习率，$\nabla L(\theta_t)$ 是损失函数梯度。  

• 若参数需满足约束（如非负性、范数有界），直接更新可能违反约束。例如，要求参数 \(\theta \in C\)（\(C\) 为可行域），标准SGD无法保证 \(\theta_{t+1} \in C\)。

2. 投影梯度的核心思想
   • 在每次梯度更新后，增加一个投影步骤，将参数投影到可行域 \(C\)：

\[ \theta_{t+1} = \mathcal{P}_C \left( \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t) \right) \]

 其中 $\mathcal{P}_C$ 是投影算子，定义为：  

\[ \mathcal{P}_C(x) = \arg\min_{y \in C} \|y - x\|_2 \]

 即找到 $C$ 中与 $x$ 欧氏距离最近的点。

3. 常见约束的投影操作设计

   • 非负约束（\(\theta \geq 0\)）：
     对每个参数分量 \(\theta_i\)，投影为 \(\max(0, \theta_i)\)。
   • 球约束（\(\|\theta\|_2 \leq r\)）：
     若 \(\|\theta\|_2 > r\)，则投影为 \(\theta \gets r \cdot \theta / \|\theta\|_2\)。
   • 仿射约束（\(A\theta = b\)）：
     使用最小二乘投影 \(\theta \gets \theta - A^\top (A A^\top)^{-1} (A\theta - b)\)。
   • 盒约束（\(a \leq \theta_i \leq b\)）：
     对每个分量裁剪到区间内：\(\theta_i \gets \min(b, \max(a, \theta_i))\)。

4. 算法实现步骤

   • 步骤1：初始化参数 \(\theta_0 \in C\)，设定学习率 \(\eta\)。
   • 步骤2：在每次迭代 \(t\) 中：
     • 计算当前批次梯度 \(\nabla L(\theta_t)\)。
     • 执行梯度更新：\(\theta_{t+1/2} = \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t)\)。
     • 应用投影：\(\theta_{t+1} = \mathcal{P}_C(\theta_{t+1/2})\)。
   • 步骤3：重复步骤2直至收敛。

5. 投影的数学性质与收敛性

   • 投影算子的非扩张性：\(\|\mathcal{P}_C(x) - \mathcal{P}_C(y)\| \leq \|x - y\|\)，确保优化过程稳定。
   • 在凸约束和凸损失函数下，算法收敛到全局最优解；非凸问题时仍能保证可行性。

6. 实际训练中的注意事项

   • 投影操作需高效计算，例如对简单约束（如非负、球约束）可直接解析求解。
   • 复杂约束可能需要迭代优化（如内点法），但会增加计算成本。
   • 学习率调度需结合投影特性，通常使用衰减策略（如指数衰减）。

7. 代码实现示例（PyTorch）

   import torch
   
   def projected_sgd(params, lr, constraints):
       with torch.no_grad():
           for param in params:
               # 标准SGD更新
               param -= lr * param.grad
               # 投影操作：以非负约束为例
               if constraints == 'nonneg':
                   param.clamp_(min=0)
               # 其他约束可类似扩展
   
   # 使用示例
   model = torch.nn.Linear(10, 1)
   optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)
   # 训练循环中调用投影SGD
   for epoch in range(100):
       loss = model(torch.randn(32, 10)).mean()
       loss.backward()
       projected_sgd(model.parameters(), lr=0.1, constraints='nonneg')
       optimizer.zero_grad()
   

总结
SGD with Projected Gradient 通过将参数投影回可行域，解决了带约束优化问题。其核心在于投影算子的设计，需根据约束类型选择高效实现。该算法在非负矩阵分解、稀疏优化等任务中广泛应用，是处理约束优化问题的基础工具。