其中 $ t_k $ 和 $ w_k $ 为勒让德多项式的节点与权重。

高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的自适应区域分解技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间端点附近存在边界层（即函数在端点处变化剧烈，例如 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} + e^{(x-1)/\varepsilon} \)，\( \varepsilon \ll 1 \)）。高斯-勒让德求积公式在边界层区域需要大量节点才能保证精度，需结合自适应区域分解策略高效计算该积分。 解题过程 问题分析 边界层函数在端点附近梯度极大，若直接使用高斯-勒让德公式，需极高阶节点才能捕捉剧烈变化，计算成本高。 自适应区域分解的核心思想： 在边界层区域加密节点，在平滑区域减少节点 ，通过子区间划分与局部高斯积分逼近全局积分。 自适应区域分解策略 步骤1：初始划分 将区间 \([ -1, 1 ]\) 分为若干子区间（如等分或根据先验知识在边界层初步加密）。 步骤2：局部误差估计 对每个子区间 \([ a_ i, b_ i ]\)，计算两个数值积分结果： \( Q_ i^{(1)} \)：使用低阶高斯-勒让德公式（如5点）的积分值。 \( Q_ i^{(2)} \)：使用高阶公式（如10点）的积分值。 若相对误差 \( \eta_ i = |Q_ i^{(1)} - Q_ i^{(2)}| / |Q_ i^{(2)}| \) 超过阈值 \( \tau \)（如 \( 10^{-6} \)），标记该区间需进一步细分。 步骤3：递归细分 对标记区间进行二等分，递归应用步骤2，直至所有子区间满足精度要求或达到最大递归深度。 步骤4：积分求和 将各子区间的高斯积分结果累加，得到全局积分近似值。 高斯-勒让德公式的局部应用 在每个子区间 \([ a, b]\) 上，通过变量替换 \( x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t \) 将积分变换至 \([ -1, 1 ]\)： \[ \int_ a^b f(x) \, dx = \frac{b-a}{2} \int_ {-1}^1 f\left( \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t \right) dt. \] 对右侧积分应用 \( n \) 点高斯-勒让德公式： \[ \int_ {-1}^1 g(t) \, dt \approx \sum_ {k=1}^n w_ k g(t_ k), \] 其中 \( t_ k \) 和 \( w_ k \) 为勒让德多项式的节点与权重。 边界层区域的特殊处理 若已知边界层位置（如 \( x = \pm 1 \)），可在初始划分时直接在这些邻域内设置更密的子区间。 示例：在 \([ -1, -1+\delta]\) 和 \([ 1-\delta, 1 ]\)（\( \delta \ll 1 \)）内使用更细的划分，并结合高阶高斯公式（如15点）以捕捉剧烈变化。 算法终止条件 所有子区间局部误差 \( \eta_ i < \tau \)。 子区间数量达到预设上限（防止无限细分）。 全局积分值的变化小于容差。 示例演示 考虑 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} + e^{(x-1)/\varepsilon} \)（\( \varepsilon = 0.01 \)），积分区间 \([ -1, 1 ]\)： 初始划分为 \([ -1, -0.9], [ -0.9, 0.9], [ 0.9, 1 ]\)，因边界层在端点附近。 在 \([ -1, -0.9]\) 和 \([ 0.9, 1 ]\) 内，由于函数剧烈变化，低阶高斯积分误差较大，触发细分。 通过递归细分与局部高斯积分，最终在边界层区域生成密集节点，平滑区域仅需少量节点，高效得到高精度结果。 总结 该方法通过自适应区域分解，动态调整节点分布，结合高斯-勒让德公式的高精度特性，显著降低了边界层函数积分的计算成本，适用于复杂物理模型（如流体边界层问题）中的数值积分。