非线性规划中的序列线性互补问题(SLCP)算法进阶题
字数 2777 2025-11-12 15:36:03

非线性规划中的序列线性互补问题(SLCP)算法进阶题

题目描述
考虑非线性规划问题：
minimize \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
subject to:
\(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。
要求使用序列线性互补问题(SLCP)算法，从初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\) 出发，通过构造线性互补子问题逐步逼近原问题的解。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题分析与算法原理

  • SLCP算法将非线性规划转化为一系列线性互补子问题。每个子问题通过线性化目标函数和约束在当前迭代点构造，再求解该线性互补问题得到搜索方向。
  • 互补问题要求找到向量 \(w\) 和 \(z\) 满足：
    \(w = Mz + q\), \(w \geq 0\), \(z \geq 0\), \(w^T z = 0\)。
  • 在SLCP中，子问题通过线性化KKT条件得到，其解提供迭代方向。

2. 计算梯度与Hessian矩阵

  • 目标函数梯度：
    \(\nabla f(x) = [2(x_1 - 2), 2(x_2 - 1)]^T\)
  • 约束梯度：
    \(\nabla g_1(x) = [2x_1, -1]^T\), \(\nabla g_2(x) = [1, 1]^T\)
  • Lagrangian函数：
    \(L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_1 g_1(x) + \lambda_2 g_2(x)\)
  • Hessian矩阵（用于二阶近似）：
    \(\nabla_{xx}^2 L = \begin{bmatrix} 2 + 2\lambda_1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)

3. 构造初始点的线性互补子问题
在 \(x^{(0)} = (0, 0)\) 处：

  • 梯度值：
    \(\nabla f(x^{(0)}) = [-4, -2]^T\)
    \(\nabla g_1(x^{(0)}) = [0, -1]^T\), \(\nabla g_2(x^{(0)}) = [1, 1]^T\)
  • 约束值：
    \(g_1(x^{(0)}) = 0\), \(g_2(x^{(0)}) = -2\)
  • 线性化约束：
    \(\tilde{g}_1(x) = g_1(x^{(0)}) + \nabla g_1(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = -x_2\)
    \(\tilde{g}_2(x) = g_2(x^{(0)}) + \nabla g_2(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = -2 + x_1 + x_2\)
  • 线性化目标：
    \(\tilde{f}(x) = f(x^{(0)}) + \nabla f(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = 5 - 4x_1 - 2x_2\)

4. 形成线性互补问题
引入松弛变量 \(s = [s_1, s_2]^T \geq 0\) 和乘子 \(\lambda = [\lambda_1, \lambda_2]^T \geq 0\)，子问题的KKT条件为：

  • 平稳性：
    \(\nabla \tilde{f}(x) + \lambda_1 \nabla g_1(x^{(0)}) + \lambda_2 \nabla g_2(x^{(0)}) = 0\)
    \(\Rightarrow [-4, -2]^T + \lambda_1 [0, -1]^T + \lambda_2 [1, 1]^T = 0\)
  • 原始可行：
    \(\tilde{g}_1(x) + s_1 = 0\), \(\tilde{g}_2(x) + s_2 = 0\)
    \(\Rightarrow -x_2 + s_1 = 0\), \(-2 + x_1 + x_2 + s_2 = 0\)
  • 互补松弛：
    \(\lambda_1 s_1 = 0\), \(\lambda_2 s_2 = 0\)

5. 求解线性互补子问题
将条件写为 \(w = Mz + q\) 形式：
设 \(z = [x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2]^T\), \(w = [s_1, s_2, r_1, r_2]^T\)，其中 \(r\) 为平稳性残差。
从平稳性条件：
\(-4 + \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 4\)
\(-2 - \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 2\)
从原始可行条件：
\(s_1 = x_2\), \(s_2 = 2 - x_1 - x_2\)
互补松弛条件：
\(\lambda_1 s_1 = 2x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0\)
\(\lambda_2 s_2 = 4(2 - x_1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2\)
解得 \(x^{(1)} = (2, 0)\), \(\lambda^{(1)} = (2, 4)\)

6. 迭代与收敛检查
在 \(x^{(1)} = (2, 0)\) 处：

  • 约束值：
    \(g_1(x^{(1)}) = 4 > 0\)（违反约束）
    \(g_2(x^{(1)}) = 0\)（活跃约束）
    由于 \(g_1(x)\) 被违反，需继续迭代。重新线性化并求解新子问题，通过序列逼近使解满足约束并优化目标函数。经过数次迭代后，算法将收敛至满足KKT条件的点 \(x^* \approx (1, 1)\)，此时 \(f(x^*) = 1\)，约束 \(g_1(x^*) = 0\), \(g_2(x^*) = 0\)。

关键点

  • SLCP通过线性化非线性约束，将问题转化为线性互补子问题序列。
  • 每次迭代需检查约束违反情况，并调整线性化点。
  • 收敛时解满足原问题的KKT条件，且互补条件确保约束处理正确。
非线性规划中的序列线性互补问题(SLCP)算法进阶题 题目描述 考虑非线性规划问题： minimize \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) subject to: \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。 要求使用序列线性互补问题(SLCP)算法，从初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \) 出发，通过构造线性互补子问题逐步逼近原问题的解。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题分析与算法原理 SLCP算法将非线性规划转化为一系列线性互补子问题。每个子问题通过线性化目标函数和约束在当前迭代点构造，再求解该线性互补问题得到搜索方向。 互补问题要求找到向量 \( w \) 和 \( z \) 满足： \( w = Mz + q \), \( w \geq 0 \), \( z \geq 0 \), \( w^T z = 0 \)。 在SLCP中，子问题通过线性化KKT条件得到，其解提供迭代方向。 2. 计算梯度与Hessian矩阵 目标函数梯度： \( \nabla f(x) = [ 2(x_ 1 - 2), 2(x_ 2 - 1) ]^T \) 约束梯度： \( \nabla g_ 1(x) = [ 2x_ 1, -1]^T \), \( \nabla g_ 2(x) = [ 1, 1 ]^T \) Lagrangian函数： \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_ 1 g_ 1(x) + \lambda_ 2 g_ 2(x) \) Hessian矩阵（用于二阶近似）： \( \nabla_ {xx}^2 L = \begin{bmatrix} 2 + 2\lambda_ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \) 3. 构造初始点的线性互补子问题 在 \( x^{(0)} = (0, 0) \) 处： 梯度值： \( \nabla f(x^{(0)}) = [ -4, -2 ]^T \) \( \nabla g_ 1(x^{(0)}) = [ 0, -1]^T \), \( \nabla g_ 2(x^{(0)}) = [ 1, 1 ]^T \) 约束值： \( g_ 1(x^{(0)}) = 0 \), \( g_ 2(x^{(0)}) = -2 \) 线性化约束： \( \tilde{g}_ 1(x) = g_ 1(x^{(0)}) + \nabla g_ 1(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = -x_ 2 \) \( \tilde{g}_ 2(x) = g_ 2(x^{(0)}) + \nabla g_ 2(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = -2 + x_ 1 + x_ 2 \) 线性化目标： \( \tilde{f}(x) = f(x^{(0)}) + \nabla f(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = 5 - 4x_ 1 - 2x_ 2 \) 4. 形成线性互补问题 引入松弛变量 \( s = [ s_ 1, s_ 2]^T \geq 0 \) 和乘子 \( \lambda = [ \lambda_ 1, \lambda_ 2 ]^T \geq 0 \)，子问题的KKT条件为： 平稳性： \( \nabla \tilde{f}(x) + \lambda_ 1 \nabla g_ 1(x^{(0)}) + \lambda_ 2 \nabla g_ 2(x^{(0)}) = 0 \) \( \Rightarrow [ -4, -2]^T + \lambda_ 1 [ 0, -1]^T + \lambda_ 2 [ 1, 1 ]^T = 0 \) 原始可行： \( \tilde{g}_ 1(x) + s_ 1 = 0 \), \( \tilde{g}_ 2(x) + s_ 2 = 0 \) \( \Rightarrow -x_ 2 + s_ 1 = 0 \), \( -2 + x_ 1 + x_ 2 + s_ 2 = 0 \) 互补松弛： \( \lambda_ 1 s_ 1 = 0 \), \( \lambda_ 2 s_ 2 = 0 \) 5. 求解线性互补子问题 将条件写为 \( w = Mz + q \) 形式： 设 \( z = [ x_ 1, x_ 2, \lambda_ 1, \lambda_ 2]^T \), \( w = [ s_ 1, s_ 2, r_ 1, r_ 2 ]^T \)，其中 \( r \) 为平稳性残差。 从平稳性条件： \( -4 + \lambda_ 2 = 0 \Rightarrow \lambda_ 2 = 4 \) \( -2 - \lambda_ 1 + \lambda_ 2 = 0 \Rightarrow \lambda_ 1 = 2 \) 从原始可行条件： \( s_ 1 = x_ 2 \), \( s_ 2 = 2 - x_ 1 - x_ 2 \) 互补松弛条件： \( \lambda_ 1 s_ 1 = 2x_ 2 = 0 \Rightarrow x_ 2 = 0 \) \( \lambda_ 2 s_ 2 = 4(2 - x_ 1) = 0 \Rightarrow x_ 1 = 2 \) 解得 \( x^{(1)} = (2, 0) \), \( \lambda^{(1)} = (2, 4) \) 6. 迭代与收敛检查 在 \( x^{(1)} = (2, 0) \) 处： 约束值： \( g_ 1(x^{(1)}) = 4 > 0 \)（违反约束） \( g_ 2(x^{(1)}) = 0 \)（活跃约束） 由于 \( g_ 1(x) \) 被违反，需继续迭代。重新线性化并求解新子问题，通过序列逼近使解满足约束并优化目标函数。经过数次迭代后，算法将收敛至满足KKT条件的点 \( x^* \approx (1, 1) \)，此时 \( f(x^ ) = 1 \)，约束 \( g_ 1(x^ ) = 0 \), \( g_ 2(x^* ) = 0 \)。 关键点 SLCP通过线性化非线性约束，将问题转化为线性互补子问题序列。 每次迭代需检查约束违反情况，并调整线性化点。 收敛时解满足原问题的KKT条件，且互补条件确保约束处理正确。