非线性规划中的内点反射梯度法基础题 我将为您讲解非线性规划中的内点反射梯度法。这个算法结合了内点法的可行性保持特性和梯度法的简单性，同时利用反射机制来处理边界约束。 问题描述 考虑一个带边界约束的非线性规划问题： 最小化 f(x) 满足 l ≤ x ≤ u 其中 x ∈ Rⁿ，f: Rⁿ → R 是连续可微函数，l和u分别是变量的下界和上界。 解题过程 1. 算法基本思想 内点反射梯度法的核心思想是： 使用内点法保持迭代点严格在可行域内部 利用梯度方向进行搜索 当接近边界时，通过反射机制调整搜索方向 结合线搜索保证收敛性 2. 初始点选择 选择初始点 x₀ 满足 l < x₀ < u 通常选择可行域的中心点：x₀ = (l + u)/2 或者根据具体问题选择远离边界的点 3. 障碍函数构造 为了处理边界约束，我们引入对数障碍函数： B(x) = f(x) - μ[ ∑ln(x_ i - l_ i) + ∑ln(u_ i - x_ i) ] 其中 μ > 0 是障碍参数，随着迭代逐渐减小 4. 梯度计算 计算障碍函数的梯度： ∇B(x) = ∇f(x) - μ[ ∑1/(x_ i - l_ i) - ∑1/(u_ i - x_ i) ] 5. 反射机制 当迭代点接近边界时，采用反射策略： 定义到边界的距离：d_ l = x - l, d_ u = u - x 当 d_ l < ε 或 d_ u < ε 时，对梯度方向进行反射 反射后的方向：d_ ref = d - 2(d·n)n，其中n是边界法向量 6. 搜索方向确定 结合梯度信息和反射机制： d_ k = -∇B(x_ k) + 反射修正项 保证搜索方向指向可行域内部且具有下降性质 7. 线搜索过程 使用Armijo线搜索确定步长： 初始步长 α₀ = 1 当 B(x_ k + αd_ k) > B(x_ k) + cα∇B(x_ k)ᵀd_ k 时 减小步长：α = βα，其中 β ∈ (0,1) 保证新迭代点仍在可行域内：l < x_ k + αd_ k < u 8. 参数更新策略 障碍参数更新：μ_ {k+1} = σμ_ k，σ ∈ (0,1) 当 μ 足够小时，算法收敛到原问题的最优解 9. 收敛性判断 满足以下任一条件时停止： ‖∇B(x_ k)‖ < ε |f(x_ k) - f(x_ {k-1})| < ε(1 + |f(x_ k)|) μ_ k < ε 10. 算法步骤总结 初始化：选择 x₀, μ₀ > 0, ε > 0, k = 0 计算障碍函数梯度 ∇B(x_ k) 确定搜索方向 d_ k（含反射修正） 执行线搜索得到步长 α_ k 更新迭代点：x_ {k+1} = x_ k + α_ kd_ k 更新障碍参数：μ_ {k+1} = σμ_ k 检查收敛条件，不满足则 k = k+1 转步骤2 这个方法结合了内点法的稳定性和梯度法的简单性，特别适合处理边界约束问题，通过反射机制有效避免了在边界附近的收敛问题。