最长公共子序列的变种：带字符权重的最长公共子序列（进阶版：允许负权重且要求子序列权重和非负，同时限制某些字符必须连续出现k次） 题目描述 给定两个字符串 s 和 t ，以及一个字符权重数组 weight （ weight[c] 表示字符 c 的权重，可能为负数），要求找到一个 s 和 t 的公共子序列，使得该子序列的权重和最大，并且权重和非负。此外，子序列中某些指定字符（例如 'a' ）必须连续出现至少 k 次。求满足条件的最大权重和，如果不存在这样的子序列，返回 0。 解题思路 这个问题是经典最长公共子序列（LCS）的变种，增加了权重、非负和以及连续字符出现次数的限制。我们需要设计一个动态规划状态来同时跟踪匹配情况、权重和以及连续字符的出现次数。 详细步骤 步骤1：定义状态 我们定义 dp[i][j][w][cnt] 表示考虑字符串 s 的前 i 个字符和 t 的前 j 个字符时，当前权重和为 w ，并且最后一个字符（如果存在）已经连续出现了 cnt 次的情况下，是否能够形成这样的子序列。但直接这样定义状态空间可能太大，我们需要优化。 实际上，我们可以将状态定义为： dp[i][j] 表示考虑 s 的前 i 个字符和 t 的前 j 个字符时，能够得到的最大权重和（且权重和非负）。 同时，我们需要额外的状态来跟踪连续字符的出现次数。我们可以引入一个辅助状态 cont[i][j][ch][k] 表示以字符 ch 结尾且连续出现 k 次的情况，但这样状态空间仍然很大。 为了简化，我们可以将问题分解： 先忽略连续字符的限制，解决带权重且权重和非负的LCS问题。 然后加入连续字符的限制。 步骤2：基础动态规划（忽略连续字符限制） 定义 dp[i][j] 为考虑 s 的前 i 个字符和 t 的前 j 个字符时，能得到的最大权重和（且非负）。状态转移方程如下： 如果 s[i-1] == t[j-1] ，则我们可以选择匹配这个字符： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + weight[s[i-1]]) 否则，我们可以跳过 s 的当前字符或 t 的当前字符： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) 同时，我们需要确保权重和非负，所以如果 dp[i][j] 小于0，我们将其置为0（表示不选择任何字符）。 步骤3：加入连续字符限制 对于连续字符的限制，我们需要额外记录以某个字符结尾的连续出现次数。我们可以定义 cont[i][j][ch] 表示以字符 ch 结尾，在 s 的前 i 个字符和 t 的前 j 个字符中，连续出现的最大次数。 但这样状态空间仍然较大。另一种思路是：我们可以在动态规划过程中，当遇到指定字符（如 'a' ）时，检查是否已经连续出现了 k 次。如果是，则允许将其加入子序列；否则，不能以该字符作为连续序列的结尾。 我们可以修改状态为： dp[i][j][cnt] 表示考虑 s 的前 i 个字符和 t 的前 j 个字符，且当前指定字符（如 'a' ）已经连续出现了 cnt 次时的最大权重和。 状态转移： 如果 s[i-1] == t[j-1] ： 如果当前字符是指定字符（如 'a' ）： 如果 cnt > 0 ，则我们可以继续连续序列： dp[i][j][cnt] = max(dp[i][j][cnt], dp[i-1][j-1][cnt-1] + weight['a']) 如果 cnt == 0 ，则不能以该字符作为连续序列的结尾（因为要求至少连续出现k次）。 如果当前字符不是指定字符： 我们可以匹配该字符，并重置连续计数为0（因为指定字符的连续序列被中断）： dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-1][cnt] + weight[s[i-1]]) 否则，我们跳过 s[i-1] 或 t[j-1] ： dp[i][j][cnt] = max(dp[i][j][cnt], dp[i-1][j][cnt], dp[i][j-1][cnt]) 同时，我们需要确保权重和非负，所以如果任何状态值小于0，我们将其置为0。 步骤4：初始化 dp[0][0][0] = 0 ，表示两个空字符串的权重和为0。 其他状态初始化为0。 步骤5：最终答案 最终答案是所有 dp[len(s)][len(t)][cnt] 中的最大值，其中 cnt >= k （满足连续出现至少k次的条件）。 总结 这个问题的难点在于同时处理权重、非负和以及连续字符出现次数的限制。通过扩展动态规划状态，我们能够跟踪这些信息，并在状态转移时确保所有条件得到满足。虽然状态空间较大，但通过合理的状态设计，我们可以在多项式时间内解决问题。