哈希算法题目：设计一个基于多重哈希的布隆过滤器变种（支持动态扩容和位集压缩）

题目描述

设计一个支持动态扩容和位集压缩的多重哈希布隆过滤器变种。该结构需要支持以下操作：

• 添加元素
• 查询元素是否存在
• 动态扩容（当误判率上升时自动扩展容量）
• 位集压缩（定期清理冗余位以节省空间）

解题步骤

步骤1：理解基础布隆过滤器

1. 基本结构：

   • 使用一个长度为 \(m\) 的位数组（初始大小可设为 \(m_0\)）
   • 选择 \(k\) 个不同的哈希函数，每个函数将元素映射到 \([0, m-1]\) 的某个位置

2. 操作原理：

   • 添加元素：对元素执行 \(k\) 次哈希，将对应位置设为 1
   • 查询元素：检查所有 \(k\) 个位置是否均为 1（若全是 1 则可能存在，否则一定不存在）

步骤2：设计多重哈希机制

1. 哈希函数选择：
   • 使用双重哈希法生成 \(k\) 个独立哈希值：

\[ h_i(x) = (h_1(x) + i \cdot h_2(x)) \mod m \]

 其中 $ h_1, h_2 $ 是两个基础哈希函数，$ i $ 从 0 到 $ k-1 $

2. 避免哈希冲突：
   • 通过双重哈希确保哈希值均匀分布
   • 记录每个哈希函数实际使用的位数，用于后续压缩判断

步骤3：实现动态扩容策略

1. 扩容触发条件：
   • 当位数组中 1 的占比超过阈值 \(\theta\)（例如 70%）时触发扩容
   • 计算当前误判率 \(p\)：

\[ p \approx (1 - e^{-kn/m})^k \]

 其中 $ n $ 是已插入元素数量

2. 扩容操作：
   • 新位数组大小 \(m' = 2m\)
   • 创建新的位数组，重新哈希所有已存元素到新数组：
     • 遍历旧位数组中的每个元素（需额外存储元素集合或重建）
     • 用新大小 \(m'\) 重新执行多重哈希插入

步骤4：位集压缩设计

1. 压缩时机：

   • 定期执行（如每插入 \(C\) 个元素后）
   • 或当空间使用率低于阈值时触发

2. 压缩方法：

   • 游程编码压缩：
     • 将连续的 0 或 1 序列替换为（值，计数）对
     • 例如：000111100 压缩为 (0,3),(1,4),(0,2)
   • 稀疏位图优化：
     • 仅存储值为 1 的位置集合
     • 适合 1 的占比较低的情况

3. 压缩后操作：

   • 查询时需解压缩或通过稀疏索引快速定位
   • 添加元素时若目标位为 0 则更新压缩数据

步骤5：完整操作流程

1. 初始化：

   class DynamicBloomFilter:
       def __init__(self, initial_size=1000, hash_count=3, max_false_positive=0.05):
           self.size = initial_size
           self.bit_array = [0] * initial_size
           self.hash_count = hash_count
           self.max_false_positive = max_false_positive
           self.element_count = 0
           self.compression_enabled = True
   

2. 添加元素：

   def add(self, element):
       # 检查是否需要扩容
       if self.need_expansion():
           self.expand()
   
       # 多重哈希设置位
       for i in range(self.hash_count):
           pos = self.multi_hash(element, i)
           self.bit_array[pos] = 1
   
       self.element_count += 1
   
       # 定期压缩
       if self.element_count % 1000 == 0 and self.compression_enabled:
           self.compress()
   

3. 查询元素：

   def contains(self, element):
       for i in range(self.hash_count):
           pos = self.multi_hash(element, i)
           if self.bit_array[pos] == 0:
               return False
       return True  # 可能存在（有误判概率）
   

4. 动态扩容：

   def expand(self):
       new_size = self.size * 2
       new_bit_array = [0] * new_size
   
       # 重新哈希所有元素（实际需遍历存储的元素集合）
       for element in self.stored_elements:
           for i in range(self.hash_count):
               pos = self.multi_hash(element, i, new_size)
               new_bit_array[pos] = 1
   
       self.bit_array = new_bit_array
       self.size = new_size
   

5. 位集压缩：

   def compress(self):
       # 游程编码压缩示例
       compressed = []
       count = 1
       current = self.bit_array[0]
   
       for i in range(1, len(self.bit_array)):
           if self.bit_array[i] == current:
               count += 1
           else:
               compressed.append((current, count))
               current = self.bit_array[i]
               count = 1
       compressed.append((current, count))
   
       self.compressed_data = compressed
   

关键要点

1. 误判率控制：通过动态扩容维持较低的误判率
2. 空间效率：压缩机制显著减少内存占用
3. 时间权衡：压缩/解压缩增加计算开销，但减少内存访问成本
4. 哈希质量：双重哈希法提供良好的分布特性

这个设计在传统布隆过滤器基础上，通过动态扩容适应数据量变化，通过压缩优化空间使用，适合大数据量且内存敏感的场景。