非线性规划中的序列二次约束二次规划(SQCQP)算法进阶题 我将为您讲解序列二次约束二次规划(SQCQP)算法的一个进阶应用。这个算法在处理非线性规划问题时特别有效，尤其是当约束条件复杂且非线性时。 问题描述 考虑以下非线性规划问题： 最小化：f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 4)² + (x₃ - 5)² 约束条件： g₁(x) = x₁² + x₂² - x₃² ≤ 0 g₂(x) = e^(x₁) + e^(x₂) - e^(x₃) ≤ 0 h(x) = x₁ + x₂ + x₃ - 6 = 0 其中x ∈ ℝ³ 这是一个三维非线性规划问题，包含二次目标函数、非线性不等式约束和线性等式约束。 解题过程 第一步：算法基本原理 序列二次约束二次规划(SQCQP)是SQP方法的扩展，它不仅将目标函数二次化，还将非线性约束也进行二次近似。基本思想是在当前迭代点xₖ处，构建原问题的二次近似子问题，然后求解这个子问题得到搜索方向。 第二步：构建拉格朗日函数 首先构造增广拉格朗日函数： L(x,λ,μ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) + μh(x) + (ρ/2)[ g₁(x)² + g₂(x)² + h(x)² ] 其中λ₁, λ₂ ≥ 0是不等式约束的拉格朗日乘子，μ是等式约束的乘子，ρ > 0是罚参数。 第三步：在当前点进行泰勒展开 在当前迭代点xₖ处，我们对各函数进行泰勒展开： 目标函数的二次近似： f(xₖ + d) ≈ f(xₖ) + ∇f(xₖ)ᵀd + (1/2)dᵀ∇²f(xₖ)d 约束g₁(x)的二次近似： g₁(xₖ + d) ≈ g₁(xₖ) + ∇g₁(xₖ)ᵀd + (1/2)dᵀ∇²g₁(xₖ)d 约束g₂(x)的二次近似： g₂(xₖ + d) ≈ g₂(xₖ) + ∇g₂(xₖ)ᵀd + (1/2)dᵀ∇²g₂(xₖ)d 等式约束h(x)的线性近似： h(xₖ + d) ≈ h(xₖ) + ∇h(xₖ)ᵀd 第四步：计算梯度和海森矩阵 对于我们的具体问题： 梯度计算： ∇f(x) = [ 2(x₁-3), 2(x₂-4), 2(x₃-5) ]ᵀ ∇g₁(x) = [ 2x₁, 2x₂, -2x₃ ]ᵀ ∇g₂(x) = [ e^(x₁), e^(x₂), -e^(x₃) ]ᵀ ∇h(x) = [ 1, 1, 1 ]ᵀ 海森矩阵计算： ∇²f(x) = diag([ 2, 2, 2 ]) # 对角矩阵 ∇²g₁(x) = diag([ 2, 2, -2 ]) ∇²g₂(x) = diag([ e^(x₁), e^(x₂), e^(x₃) ]) 第五步：构建二次规划子问题 在点xₖ处，我们构建以下二次规划子问题： 最小化：∇f(xₖ)ᵀd + (1/2)dᵀBₖd 约束条件： g₁(xₖ) + ∇g₁(xₖ)ᵀd + (1/2)dᵀ∇²g₁(xₖ)d ≤ 0 g₂(xₖ) + ∇g₂(xₖ)ᵀd + (1/2)dᵀ∇²g₂(xₖ)d ≤ 0 h(xₖ) + ∇h(xₖ)ᵀd = 0 其中Bₖ是拉格朗日函数的海森矩阵近似或目标函数的海森矩阵。 第六步：求解二次规划子问题 使用积极集法或内点法求解上述二次规划子问题，得到搜索方向dₖ和相应的拉格朗日乘子估计值。 第七步：线搜索和步长选择 使用Merit函数或Filter方法进行线搜索，确定步长αₖ： φ(α) = f(xₖ + αdₖ) + ν·V(xₖ + αdₖ) 其中V(x)是约束违反度度量，ν > 0是罚参数。 第八步：更新迭代点和乘子 xₖ₊₁ = xₖ + αₖdₖ 根据新的约束违反度和最优性条件更新拉格朗日乘子。 第九步：收敛性检查 检查以下收敛条件： ||∇L(xₖ₊₁, λₖ₊₁, μₖ₊₁)|| ≤ ε₁ max(0, g₁(xₖ₊₁), g₂(xₖ₊₁)) ≤ ε₂ |h(xₖ₊₁)| ≤ ε₃ 如果满足收敛条件，算法终止；否则返回第三步继续迭代。 算法特点 SQCQP算法通过将非线性约束二次化，能更准确地近似原问题，相比标准SQP有更好的收敛性能，特别适合处理高度非线性的约束优化问题。