高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧
字数 1772 2025-11-12 08:02:41

高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中被积函数 \(f(x)\) 具有振荡衰减特性，例如 \(f(x) = e^{-x} \cos(10x)\)。高斯-切比雪夫求积公式直接利用权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 的正交性，但若 \(f(x)\) 本身含振荡衰减因子，需通过权函数匹配优化节点与权重，以提高计算效率。

解题过程

  1. 高斯-切比雪夫公式基础
    • 公式形式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k g(x_k) \]

 节点 $ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) $，权重 $ w_k = \frac{\pi}{n} $。
  • 该公式对 \(g(x)\) 为不超过 \(2n-1\) 次的多项式精确成立。

  1. 振荡衰减函数的积分挑战

    • 若 \(f(x) = e^{-x} \cos(10x)\)，直接代入公式需高 \(n\) 才能捕捉振荡，但指数衰减在边界 \(x \to \pm 1\) 可能被权函数放大，导致误差。

  2. 权函数匹配策略

    • 目标：将振荡衰减部分吸收到权函数中，构造新权函数 \(\tilde{w}(x)\)。
    • 例如，设 \(\tilde{w}(x) = \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-x^2}}\)，则积分改写为：

\[ I = \int_{-1}^{1} \cos(10x) \cdot \tilde{w}(x) \, dx \]

  • 对 \(\tilde{w}(x)\) 构造正交多项式 \(\{\tilde{P}_k(x)\}\)，其零点作为新节点，对应权重由高斯求积法计算。
  1. 正交多项式构造
    • 通过Gram-Schmidt过程生成 \(\tilde{w}(x)\) 的正交多项式：
      • 从基 \(\{1, x, x^2, \dots\}\) 出发，计算内积 \(\langle p, q \rangle = \int_{-1}^{1} p(x)q(x) \tilde{w}(x) \, dx\)。
      • 递推关系：

\[ \tilde{P}_{k+1}(x) = (x - \alpha_k) \tilde{P}_k(x) - \beta_k \tilde{P}_{k-1}(x) \]

   其中 $ \alpha_k = \frac{\langle x \tilde{P}_k, \tilde{P}_k \rangle}{\langle \tilde{P}_k, \tilde{P}_k \rangle} $, $ \beta_k = \frac{\langle \tilde{P}_k, \tilde{P}_k \rangle}{\langle \tilde{P}_{k-1}, \tilde{P}_{k-1} \rangle} $。

  1. 节点与权重计算

    • 节点：求 \(\tilde{P}_n(x) = 0\) 的根 \(\{\tilde{x}_k\}\)。
    • 权重：解线性方程组 \(\sum_{k=1}^n \tilde{w}_k \tilde{x}_k^j = \mu_j\)（\(j=0,1,\dots,n-1\)），其中 \(\mu_j = \int_{-1}^{1} x^j \tilde{w}(x) \, dx\) 为矩量。

  2. 积分近似与误差控制

    • 代入公式：

\[ I \approx \sum_{k=1}^{n} \tilde{w}_k \cos(10\tilde{x}_k) \]

  • 误差由 \(f(x)\) 在正交多项式展开的余项决定，通常随 \(n\) 增大指数收敛。

总结
通过权函数匹配，将振荡衰减特性融入正交多项式的权函数中，使节点更集中于函数变化剧烈区域，显著减少所需节点数，提升计算效率。

高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 具有振荡衰减特性，例如 \( f(x) = e^{-x} \cos(10x) \)。高斯-切比雪夫求积公式直接利用权函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 的正交性，但若 \( f(x) \) 本身含振荡衰减因子，需通过权函数匹配优化节点与权重，以提高计算效率。 解题过程 高斯-切比雪夫公式基础 公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k g(x_ k) \] 节点 \( x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \)，权重 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)。 该公式对 \( g(x) \) 为不超过 \( 2n-1 \) 次的多项式精确成立。 振荡衰减函数的积分挑战 若 \( f(x) = e^{-x} \cos(10x) \)，直接代入公式需高 \( n \) 才能捕捉振荡，但指数衰减在边界 \( x \to \pm 1 \) 可能被权函数放大，导致误差。 权函数匹配策略 目标 ：将振荡衰减部分吸收到权函数中，构造新权函数 \( \tilde{w}(x) \)。 例如，设 \( \tilde{w}(x) = \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-x^2}} \)，则积分改写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} \cos(10x) \cdot \tilde{w}(x) \, dx \] 对 \( \tilde{w}(x) \) 构造正交多项式 \( \{\tilde{P}_ k(x)\} \)，其零点作为新节点，对应权重由高斯求积法计算。 正交多项式构造 通过Gram-Schmidt过程生成 \( \tilde{w}(x) \) 的正交多项式： 从基 \( \{1, x, x^2, \dots\} \) 出发，计算内积 \( \langle p, q \rangle = \int_ {-1}^{1} p(x)q(x) \tilde{w}(x) \, dx \)。 递推关系： \[ \tilde{P}_ {k+1}(x) = (x - \alpha_ k) \tilde{P} k(x) - \beta_ k \tilde{P} {k-1}(x) \] 其中 \( \alpha_ k = \frac{\langle x \tilde{P}_ k, \tilde{P}_ k \rangle}{\langle \tilde{P}_ k, \tilde{P}_ k \rangle} \), \( \beta_ k = \frac{\langle \tilde{P} k, \tilde{P} k \rangle}{\langle \tilde{P} {k-1}, \tilde{P} {k-1} \rangle} \)。 节点与权重计算 节点：求 \( \tilde{P}_ n(x) = 0 \) 的根 \( \{\tilde{x}_ k\} \)。 权重：解线性方程组 \( \sum_ {k=1}^n \tilde{w}_ k \tilde{x} k^j = \mu_ j \)（\( j=0,1,\dots,n-1 \)），其中 \( \mu_ j = \int {-1}^{1} x^j \tilde{w}(x) \, dx \) 为矩量。 积分近似与误差控制 代入公式： \[ I \approx \sum_ {k=1}^{n} \tilde{w}_ k \cos(10\tilde{x}_ k) \] 误差由 \( f(x) \) 在正交多项式展开的余项决定，通常随 \( n \) 增大指数收敛。 总结 通过权函数匹配，将振荡衰减特性融入正交多项式的权函数中，使节点更集中于函数变化剧烈区域，显著减少所需节点数，提升计算效率。