高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中 \(f(x)\) 是区间 \([-1,1]\) 上的光滑函数，但被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的奇异性。要求通过正则化变换结合高斯-勒让德求积公式精确计算该积分。

解题过程

1. 问题分析

   • 积分在端点 \(x = \pm 1\) 处被积函数趋于无穷，但若 \(f(x)\) 光滑，积分本身可能收敛（例如切比雪夫权函数的积分）。
   • 直接应用高斯-勒让德求积公式（适用于一般光滑函数）在奇异性附近会精度下降，因多项式逼近在端点附近误差较大。
   • 目标：通过变量替换消除奇异性，将积分转化为高斯-勒让德求积公式可高效处理的形式。

2. 正则化变量替换

   • 令 \(x = \cos\theta\)，则：

\[ dx = -\sin\theta \, d\theta, \quad \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta \]

 积分变为：  

\[ I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \, d\theta \]

• 奇异性被消除：原被积函数中的 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 与 \(dx\) 中的 \(\sin\theta\) 抵消，被积函数变为光滑函数 \(f(\cos\theta)\) 在 \([0,\pi]\) 上的常权积分。

3. 应用高斯-勒让德求积公式
   • 高斯-勒让德公式适用于区间 \([-1,1]\)，需将积分区间 \([0,\pi]\) 映射至 \([-1,1]\)。
   • 令 \(t = \frac{2\theta}{\pi} - 1\)，则 \(\theta = \frac{\pi}{2}(t+1)\)，\(d\theta = \frac{\pi}{2} dt\)：

\[ I = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right)\right) dt \]

• 定义 \(g(t) = f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right)\right)\)，则积分化为：

\[ I = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} g(t) \, dt \]

 此时可直接应用 $n$ 点高斯-勒让德求积公式：  

\[ I \approx \frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i g(t_i) \]

 其中 $t_i$ 和 $w_i$ 为 $n$ 点高斯-勒让德求积公式的节点和权重。

4. 计算步骤
   • 步骤1：选择积分节点数 \(n\)（例如 \(n=10\)），获取预计算的高斯-勒让德节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\)。
   • 步骤2：对每个节点 \(t_i\)，计算：

\[ \theta_i = \frac{\pi}{2}(t_i + 1), \quad x_i = \cos\theta_i \]

• 步骤3：计算 \(g(t_i) = f(x_i)\)。
• 步骤4：按公式 \(I \approx \frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i g(t_i)\) 求积分解。

5. 误差与收敛性

   • 原积分经变换后，被积函数 \(g(t)\) 在 \([-1,1]\) 上光滑（因 \(f(x)\) 光滑且变换解析），高斯-勒让德公式具有指数级收敛速度。
   • 若 \(f(x)\) 为多项式，则 \(g(t)\) 可通过三角恒等式化为多项式，高斯-勒让德公式可精确计算（节点数足够时）。

6. 示例验证
   设 \(f(x) = 1\)，则精确解为：

\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \pi \]

应用上述方法：

• \(g(t) = 1\)，积分近似值为 \(\frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i = \pi\)（因高斯-勒让德公式在 \(n=1\) 时即精确）。
  结果验证了方法的有效性。

总结
通过余弦替换消除端点奇异性，再结合区间映射和高斯-勒让德求积公式，将奇异积分转化为高精度数值计算问题。此方法适用于任何端点处具有 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 奇异性的积分，且收敛速度快。