高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理
题目描述
考虑带权函数的积分问题：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
其中权函数为 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫节点（即第一类切比雪夫多项式的零点）和对应权重，近似计算该积分。但权函数 \(w(x)\) 在积分区间端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性，需通过归一化处理确保求积公式的数值稳定性与精度。请详细说明权函数归一化的原理、步骤及其对求积公式精度的影响。
解题过程
- 高斯-切比雪夫求积公式的基本形式
对于积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，标准的高斯-切比雪夫求积公式为：
\[ I \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) \]
其中节点 \(x_k\) 是 \(n\) 阶第一类切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点：
\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n \]
权重 \(w_k\) 在标准公式中均为 \(\frac{\pi}{n}\)。但权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的积分区间总权重为 \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi\)，需通过归一化确保权重和与总权一致。
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权函数归一化的必要性
- 权函数 \(w(x)\) 在端点处发散，但积分 \(\int_{-1}^{1} w(x) \, dx = \pi\) 收敛。
- 若直接使用未归一化的权重，数值积分可能因端点奇异性导致误差放大。归一化通过调整权重使其总和等于权函数的积分值 \(\pi\)，提升公式的代数精度和数值稳定性。
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归一化权重的计算
高斯型求积公式要求权重满足：
\[ \sum_{k=1}^{n} w_k = \int_{-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \]
对于标准高斯-切比雪夫公式，权重 \(w_k = \frac{\pi}{n}\) 已满足该条件，因为：
\[ \sum_{k=1}^{n} w_k = n \cdot \frac{\pi}{n} = \pi \]
因此，归一化后的权重即为 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)。此设计使得公式对任意次数低于 \(2n\) 的多项式 \(f(x)\) 精确成立。
- 归一化对精度的影响分析
- 代数精度：归一化确保公式对常量函数 \(f(x) \equiv 1\) 精确成立，即：
\[ \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot 1 = \int_{-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \]
这是求积公式具备 $ 2n-1 $ 次代数精度的基础。
- 数值稳定性：归一化避免因权函数奇异性导致的权重计算误差，尤其在浮点运算中减少舍入误差累积。
- 误差控制：归一化后，余项公式可明确表示为：
\[ E = \frac{\pi}{2^{2n-1} (2n)!} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1) \]
归一化不改变余项形式，但通过稳定权重提升实际计算精度。
- 应用示例
计算积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。- 取 \(n=3\)，节点为：
\[ x_1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
- 归一化权重 \(w_k = \frac{\pi}{3}\)。
- 近似积分：
\[ I \approx \frac{\pi}{3} \left[ \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \cos(0) + \cos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] = \frac{\pi}{3} \left[ 2\cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 1 \right] \]
- 与精确值 \(I = \pi J_0(1)\)（\(J_0\) 为零阶贝塞尔函数）比较，误差随 \(n\) 增大而减小。
总结
权函数归一化是高斯-切比雪夫求积公式的核心步骤，通过确保权重和与权函数积分值一致，保障公式的代数精度和数值稳定性。此处理尤其重要于端点奇异性问题，为振荡函数或奇异积分提供可靠数值解。