非线性规划中的序列二次约束二次规划(SQCQP)算法进阶题

字数 2204 2025-11-11 23:11:50

非线性规划中的序列二次约束二次规划(SQCQP)算法进阶题

题目描述
考虑一个非线性规划问题，其中目标函数和约束条件均为非线性，且包含二次约束。具体问题如下：
最小化 \(f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 + e^{x_1}\)，
满足约束：

\(g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1 \leq 0\)（二次不等式约束），
\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0\)（线性等式约束），
\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)（变量边界）。

该问题的难点在于非线性目标函数与二次约束的结合，需用序列二次约束二次规划（SQCQP）求解。SQCQP通过迭代求解一系列二次约束二次子问题（每个子问题目标函数为二次近似，约束为原约束的线性化或二次近似）来逼近原问题解。

解题过程

初始化
- 选择初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，需满足可行条件（如 \(g_1(x^{(0)}) \leq 0\)，若不满足则需调整）。
- 设定收敛容差 \(\epsilon = 10^{-6}\)，最大迭代次数 \(K = 100\)。
迭代步骤（第k步）
a. 构建子问题
在当前点 \(x^{(k)}\) 处，对目标函数 \(f(x)\) 和约束 \(g_1(x)\) 进行近似：
- 目标函数二次近似：

\[ \tilde{f}(x; x^{(k)}) = f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) + \frac{1}{2} (x - x^{(k)})^T H_k (x - x^{(k)}) \]

 其中 $ \nabla f(x) = [2x_1 - 2x_2 + e^{x_1}, 4x_2 - 2x_1]^T $，$ H_k $ 为Hessian矩阵 $ \nabla^2 f(x^{(k)}) $ 或拟牛顿近似（例如BFGS更新）。

二次约束 \(g_1(x)\) 保留二次形式（因本身为二次型），无需线性化：

\[ \tilde{g}_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1 \leq 0 \]

线性约束 \(g_2(x)\) 直接保留：

\[ \tilde{g}_2(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0 \]

变量边界保持不变： \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)。
子问题为二次约束二次规划（QCQP）：

\[ \min_x \tilde{f}(x; x^{(k)}) \quad \text{s.t.} \quad \tilde{g}_1(x) \leq 0,\ \tilde{g}_2(x) = 0,\ x_1, x_2 \geq 0. \]

b. 求解子问题
使用QCQP求解器（如内点法）解得子问题最优解 \(x^{(k+1)}\)。若子问题不可行，需引入松弛变量或调整信赖域策略（此处暂不展开）。

c. 收敛判断
计算相邻迭代点变化量 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\|\) 和约束违反度：

若 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon\) 且 \(\max\{g_1(x^{(k+1)}), 0\} < \epsilon\)，则终止迭代。
否则，更新 \(k = k+1\) 并返回步骤2a。

示例迭代（第0步）
- 初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)：
  \(f(x^{(0)}) = 0.25 + 0.5 - 0.5 + e^{0.5} \approx 2.1487\)，
  \(\nabla f(x^{(0)}) = [2 \cdot 0.5 - 2 \cdot 0.5 + e^{0.5}, 4 \cdot 0.5 - 2 \cdot 0.5]^T \approx [1.6487, 1.0]^T\)。
- 子问题目标函数：

\[ \tilde{f}(x; x^{(0)}) = 2.1487 + [1.6487, 1.0] \begin{bmatrix} x_1 - 0.5 \\ x_2 - 0.5 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} (x - x^{(0)})^T H_0 (x - x^{(0)}) \]

 其中 $ H_0 $ 可用精确Hessian $ \nabla^2 f(x^{(0)}) = \begin{bmatrix} 2 + e^{0.5} & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 3.6487 & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} $。

求解该QCQP子问题得 \(x^{(1)}\)，重复直至收敛。

算法特性
- SQCQP通过精确处理二次约束，避免线性化误差，适合含二次约束的问题。
- 收敛性依赖子问题可行性与Hessian近似质量，通常需全局化策略（如信赖域）。
- 最终解满足一阶必要条件（KKT条件）。

非线性规划中的序列二次约束二次规划(SQCQP)算法进阶题题目描述考虑一个非线性规划问题，其中目标函数和约束条件均为非线性，且包含二次约束。具体问题如下：最小化 \( f(x) = x_ 1^2 + 2x_ 2^2 - 2x_ 1x_ 2 + e^{x_ 1} \)，满足约束： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 1 \leq 0 \)（二次不等式约束）， \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 = 0 \)（线性等式约束）， \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \)（变量边界）。该问题的难点在于非线性目标函数与二次约束的结合，需用序列二次约束二次规划（SQCQP）求解。SQCQP通过迭代求解一系列二次约束二次子问题（每个子问题目标函数为二次近似，约束为原约束的线性化或二次近似）来逼近原问题解。解题过程初始化选择初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，需满足可行条件（如 \( g_ 1(x^{(0)}) \leq 0 \)，若不满足则需调整）。设定收敛容差 \( \epsilon = 10^{-6} \)，最大迭代次数 \( K = 100 \)。迭代步骤（第k步） a. 构建子问题在当前点 \( x^{(k)} \) 处，对目标函数 \( f(x) \) 和约束 \( g_ 1(x) \) 进行近似：目标函数二次近似： \[ \tilde{f}(x; x^{(k)}) = f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) + \frac{1}{2} (x - x^{(k)})^T H_ k (x - x^{(k)}) \] 其中 \( \nabla f(x) = [ 2x_ 1 - 2x_ 2 + e^{x_ 1}, 4x_ 2 - 2x_ 1]^T \)，\( H_ k \) 为Hessian矩阵 \( \nabla^2 f(x^{(k)}) \) 或拟牛顿近似（例如BFGS更新）。二次约束 \( g_ 1(x) \) 保留二次形式（因本身为二次型），无需线性化： \[ \tilde{g}_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 1 \leq 0 \] 线性约束 \( g_ 2(x) \) 直接保留： \[ \tilde{g}_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 = 0 \] 变量边界保持不变： \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \)。子问题为二次约束二次规划（QCQP）： \[ \min_ x \tilde{f}(x; x^{(k)}) \quad \text{s.t.} \quad \tilde{g}_ 1(x) \leq 0,\ \tilde{g}_ 2(x) = 0,\ x_ 1, x_ 2 \geq 0. \] b. 求解子问题使用QCQP求解器（如内点法）解得子问题最优解 \( x^{(k+1)} \)。若子问题不可行，需引入松弛变量或调整信赖域策略（此处暂不展开）。 c. 收敛判断计算相邻迭代点变化量 \( \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| \) 和约束违反度：若 \( \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon \) 且 \( \max\{g_ 1(x^{(k+1)}), 0\} < \epsilon \)，则终止迭代。否则，更新 \( k = k+1 \) 并返回步骤2a。示例迭代（第0步）初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)： \( f(x^{(0)}) = 0.25 + 0.5 - 0.5 + e^{0.5} \approx 2.1487 \)， \( \nabla f(x^{(0)}) = [ 2 \cdot 0.5 - 2 \cdot 0.5 + e^{0.5}, 4 \cdot 0.5 - 2 \cdot 0.5]^T \approx [ 1.6487, 1.0 ]^T \)。子问题目标函数： \[ \tilde{f}(x; x^{(0)}) = 2.1487 + [ 1.6487, 1.0] \begin{bmatrix} x_ 1 - 0.5 \\ x_ 2 - 0.5 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} (x - x^{(0)})^T H_ 0 (x - x^{(0)}) \] 其中 \( H_ 0 \) 可用精确Hessian \( \nabla^2 f(x^{(0)}) = \begin{bmatrix} 2 + e^{0.5} & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 3.6487 & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \)。求解该QCQP子问题得 \( x^{(1)} \)，重复直至收敛。算法特性 SQCQP通过精确处理二次约束，避免线性化误差，适合含二次约束的问题。收敛性依赖子问题可行性与Hessian近似质量，通常需全局化策略（如信赖域）。最终解满足一阶必要条件（KKT条件）。