基于线性规划的图最大权匹配问题求解示例
字数 1867 2025-11-11 20:56:45

基于线性规划的图最大权匹配问题求解示例

题目描述
考虑一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \(e \in E\) 有一个权重 \(w_e\)。匹配是边集的一个子集，其中任意两条边不共享公共顶点。最大权匹配问题是寻找一个匹配，使得匹配中边的权重之和最大。当图是二分图时，该问题可转化为线性规划（LP）求解；对于一般图，需添加奇数环约束（Blossom不等式）以确保LP解的整数性。本示例以二分图为例演示建模与求解过程。

解题过程

  1. 问题建模

    • 定义决策变量 \(x_e \in \{0, 1\}\) 表示边 \(e\) 是否被选入匹配。
    • 目标函数：最大化权重和 \(\sum_{e \in E} w_e x_e\)。
    • 约束条件：每个顶点最多关联一条匹配边，即对每个顶点 \(v \in V\)，有 \(\sum_{e \in \delta(v)} x_e \leq 1\)，其中 \(\delta(v)\) 表示与 \(v\) 相连的边集。
    • 整数约束导致问题为NP-hard，但二分图中该LP的松弛（允许 \(0 \leq x_e \leq 1\)）最优解自动为整数，因此可直接用LP求解。

  2. 线性规划松弛
    将整数变量松弛为连续变量，得到LP模型：

\[ \begin{align} \max \quad & \sum_{e \in E} w_e x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(v)} x_e \leq 1, \quad \forall v \in V \\ & 0 \leq x_e \leq 1, \quad \forall e \in E \end{align} \]

在二分图中，该LP的可行域顶点均为整数解，因此最优解即原问题解。

  1. 实例演示
    设二分图顶点集 \(V = \{u_1, u_2, v_1, v_2\}\)（左侧 \(u_i\)，右侧 \(v_j\)），边集 \(E = \{(u_1,v_1), (u_1,v_2), (u_2,v_1), (u_2,v_2)\}\)，权重分别为 \(w = [3, 1, 2, 4]\)。
    • LP模型：

\[ \begin{align} \max \quad & 3x_{11} + x_{12} + 2x_{21} + 4x_{22} \\ \text{s.t.} \quad & x_{11} + x_{12} \leq 1 \quad (\text{顶点 } u_1) \\ & x_{21} + x_{22} \leq 1 \quad (\text{顶点 } u_2) \\ & x_{11} + x_{21} \leq 1 \quad (\text{顶点 } v_1) \\ & x_{12} + x_{22} \leq 1 \quad (\text{顶点 } v_2) \\ & 0 \leq x_e \leq 1, \quad \forall e \in E \end{align} \]

  • 求解：通过单纯形法或内点法得最优解 \(x_{11} = 0, x_{12} = 0, x_{21} = 1, x_{22} = 1\)，但该解违反 \(v_1\) 和 \(v_2\) 的约束（实际因约束冲突不可行）。需调整：约束实际要求左右顶点均满足度 ≤1，正确解应选边 \((u_1,v_1)\) 和 \((u_2,v_2)\)（权重和7）或 \((u_1,v_2)\) 和 \((u_2,v_1)\)（权重和5）。
  • 修正：直接求解LP得最优解 \(x_{11} = 1, x_{12} = 0, x_{21} = 0, x_{22} = 1\)，目标值7。

  1. 一般图的处理
    若非二分图（如三角形图），需添加奇数环约束：对任意大小为 \(2k+1\) 的顶点子集 \(S\)，有 \(\sum_{e \in E(S)} x_e \leq k\)。这些约束指数级多，可通过分离算法动态添加。

  2. 算法总结

    • 二分图：直接求解LP松弛即可得整数解。
    • 一般图：使用椭球法或内点法求解带Blossom约束的LP，但实用中常采用组合算法（如Blossom算法）。
基于线性规划的图最大权匹配问题求解示例 题目描述 考虑一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w_ e \)。匹配是边集的一个子集，其中任意两条边不共享公共顶点。最大权匹配问题是寻找一个匹配，使得匹配中边的权重之和最大。当图是二分图时，该问题可转化为线性规划（LP）求解；对于一般图，需添加奇数环约束（Blossom不等式）以确保LP解的整数性。本示例以二分图为例演示建模与求解过程。 解题过程 问题建模 定义决策变量 \( x_ e \in \{0, 1\} \) 表示边 \( e \) 是否被选入匹配。 目标函数：最大化权重和 \( \sum_ {e \in E} w_ e x_ e \)。 约束条件：每个顶点最多关联一条匹配边，即对每个顶点 \( v \in V \)，有 \( \sum_ {e \in \delta(v)} x_ e \leq 1 \)，其中 \( \delta(v) \) 表示与 \( v \) 相连的边集。 整数约束导致问题为NP-hard，但二分图中该LP的松弛（允许 \( 0 \leq x_ e \leq 1 \)）最优解自动为整数，因此可直接用LP求解。 线性规划松弛 将整数变量松弛为连续变量，得到LP模型： \[ \begin{align} \max \quad & \sum_ {e \in E} w_ e x_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta(v)} x_ e \leq 1, \quad \forall v \in V \\ & 0 \leq x_ e \leq 1, \quad \forall e \in E \end{align} \] 在二分图中，该LP的可行域顶点均为整数解，因此最优解即原问题解。 实例演示 设二分图顶点集 \( V = \{u_ 1, u_ 2, v_ 1, v_ 2\} \)（左侧 \( u_ i \)，右侧 \( v_ j \)），边集 \( E = \{(u_ 1,v_ 1), (u_ 1,v_ 2), (u_ 2,v_ 1), (u_ 2,v_ 2)\} \)，权重分别为 \( w = [ 3, 1, 2, 4 ] \)。 LP模型： \[ \begin{align} \max \quad & 3x_ {11} + x_ {12} + 2x_ {21} + 4x_ {22} \\ \text{s.t.} \quad & x_ {11} + x_ {12} \leq 1 \quad (\text{顶点 } u_ 1) \\ & x_ {21} + x_ {22} \leq 1 \quad (\text{顶点 } u_ 2) \\ & x_ {11} + x_ {21} \leq 1 \quad (\text{顶点 } v_ 1) \\ & x_ {12} + x_ {22} \leq 1 \quad (\text{顶点 } v_ 2) \\ & 0 \leq x_ e \leq 1, \quad \forall e \in E \end{align} \] 求解：通过单纯形法或内点法得最优解 \( x_ {11} = 0, x_ {12} = 0, x_ {21} = 1, x_ {22} = 1 \)，但该解违反 \( v_ 1 \) 和 \( v_ 2 \) 的约束（实际因约束冲突不可行）。需调整：约束实际要求左右顶点均满足度 ≤1，正确解应选边 \( (u_ 1,v_ 1) \) 和 \( (u_ 2,v_ 2) \)（权重和7）或 \( (u_ 1,v_ 2) \) 和 \( (u_ 2,v_ 1) \)（权重和5）。 修正：直接求解LP得最优解 \( x_ {11} = 1, x_ {12} = 0, x_ {21} = 0, x_ {22} = 1 \)，目标值7。 一般图的处理 若非二分图（如三角形图），需添加奇数环约束：对任意大小为 \( 2k+1 \) 的顶点子集 \( S \)，有 \( \sum_ {e \in E(S)} x_ e \leq k \)。这些约束指数级多，可通过分离算法动态添加。 算法总结 二分图：直接求解LP松弛即可得整数解。 一般图：使用椭球法或内点法求解带Blossom约束的LP，但实用中常采用组合算法（如Blossom算法）。