高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数期望值计算中的应用

字数 2240 2025-11-11 19:41:31

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数期望值计算中的应用

题目描述

在量子力学中，一维谐振子的波函数表示为 \(\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-x^2/2}\)，其中 \(H_n(x)\) 是 \(n\) 阶埃尔米特多项式。需要计算物理量（如位置或动量的期望值）的积分，例如位置期望值：

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) x \psi_n(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x \left[ \psi_n(x) \right]^2 dx. \]

由于波函数包含指数衰减项 \(e^{-x^2}\)，直接使用一般数值积分方法效率较低。高斯-埃尔米特求积公式利用埃尔米特多项式的正交性，能高效计算此类带权函数 \(e^{-x^2}\) 的无穷区间积分。

解题过程

步骤1：理解高斯-埃尔米特求积公式的基本形式

高斯-埃尔米特求积公式适用于积分形式：

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^m w_i f(x_i), \]

其中 \(x_i\) 是 \(m\) 阶埃尔米特多项式 \(H_m(x)\) 的根（节点），\(w_i\) 是对应的权重。节点和权重可通过查表或数值计算获得（如Golub-Welsch算法）。

步骤2：将期望值积分转化为标准形式

位置期望值积分可写为：

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left[ x \cdot \frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}} H_n^2(x) \right] dx. \]

令被积函数中非权函数部分为：

\[g(x) = x \cdot \frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}} H_n^2(x), \]

则积分化为标准形式 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) dx\)。

步骤3：选择节点数并计算节点与权重

对于谐振子波函数，\(H_n(x)\) 是 \(n\) 次多项式，因此 \(g(x)\) 是 \(2n+1\) 次多项式。
高斯-埃尔米特公式具有 \(2m-1\) 次代数精度，故需满足 \(2m-1 \geq 2n+1\)，即 \(m \geq n+1\)。
例如，若计算 \(n=2\) 的期望值，需至少 \(m=3\) 个节点。节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\) 可通过查表获得（如下表为例）：

节点数 \(m\)	节点 \(x_i\)	权重 \(w_i\)
3	\(-\sqrt{3/2}, 0, \sqrt{3/2}\)	\(\sqrt{\pi}/6, 2\sqrt{\pi}/3, \sqrt{\pi}/6\)

步骤4：代入公式计算近似值

以 \(n=2\) 为例：

\(H_2(x) = 4x^2 - 2\)，归一化系数为 \(\frac{1}{\sqrt{8\sqrt{\pi}}}\)。
\(g(x) = x \cdot \frac{1}{8\sqrt{\pi}} (4x^2 - 2)^2 = \frac{x(16x^4 - 16x^2 + 4)}{8\sqrt{\pi}}\)。
代入 \(m=3\) 的节点和权重：

\[ \langle x \rangle \approx \sum_{i=1}^3 w_i g(x_i) = w_1 g(x_1) + w_2 g(0) + w_3 g(x_3). \]

由于 \(g(x)\) 是奇函数，且节点对称，可直接得 \(\langle x \rangle = 0\)（对称性结果）。

步骤5：验证结果与误差分析

对称性分析：若被积函数为奇函数，积分结果应为零。对于位置期望值，\(\psi_n^2(x)\) 是偶函数，乘以 \(x\) 后为奇函数，故结果精确为零。
若计算偶函数量（如能量期望值），需更多节点以保证精度。误差由公式余项控制：

\[E = \frac{m! \sqrt{\pi}}{2^m (2m)!} f^{(2m)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty, \infty). \]

实际应用中可通过增加节点数 \(m\) 或分段自适应策略提高精度。

关键点总结

问题转化：将带指数衰减的无穷积分匹配高斯-埃尔米特公式的权函数 \(e^{-x^2}\)。
节点选择：根据被积函数的多项式次数确定最小节点数，确保代数精度。
对称性利用：奇偶性可简化计算或验证结果。
误差控制：通过增加节点或结合自适应方法处理高振荡或边界层问题。

此方法显著优于直接数值积分，尤其在处理量子力学中常见的高振荡或衰减函数时。

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数期望值计算中的应用题目描述在量子力学中，一维谐振子的波函数表示为 \(\psi_ n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_ n(x) e^{-x^2/2}\)，其中 \(H_ n(x)\) 是 \(n\) 阶埃尔米特多项式。需要计算物理量（如位置或动量的期望值）的积分，例如位置期望值： \[ \langle x \rangle = \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ n^* (x) x \psi_ n(x) dx = \int_ {-\infty}^{\infty} x \left[ \psi_ n(x) \right ]^2 dx. \] 由于波函数包含指数衰减项 \(e^{-x^2}\)，直接使用一般数值积分方法效率较低。高斯-埃尔米特求积公式利用埃尔米特多项式的正交性，能高效计算此类带权函数 \(e^{-x^2}\) 的无穷区间积分。解题过程步骤1：理解高斯-埃尔米特求积公式的基本形式高斯-埃尔米特求积公式适用于积分形式： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_ {i=1}^m w_ i f(x_ i), \] 其中 \(x_ i\) 是 \(m\) 阶埃尔米特多项式 \(H_ m(x)\) 的根（节点），\(w_ i\) 是对应的权重。节点和权重可通过查表或数值计算获得（如Golub-Welsch算法）。步骤2：将期望值积分转化为标准形式位置期望值积分可写为： \[ \langle x \rangle = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left[ x \cdot \frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}} H_ n^2(x) \right ] dx. \] 令被积函数中非权函数部分为： \[ g(x) = x \cdot \frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}} H_ n^2(x), \] 则积分化为标准形式 \(\int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) dx\)。步骤3：选择节点数并计算节点与权重对于谐振子波函数，\(H_ n(x)\) 是 \(n\) 次多项式，因此 \(g(x)\) 是 \(2n+1\) 次多项式。高斯-埃尔米特公式具有 \(2m-1\) 次代数精度，故需满足 \(2m-1 \geq 2n+1\)，即 \(m \geq n+1\)。例如，若计算 \(n=2\) 的期望值，需至少 \(m=3\) 个节点。节点 \(x_ i\) 和权重 \(w_ i\) 可通过查表获得（如下表为例）： | 节点数 \(m\) | 节点 \(x_ i\) | 权重 \(w_ i\) | |------------|------------------------------|---------------------------| | 3 | \(-\sqrt{3/2}, 0, \sqrt{3/2}\) | \(\sqrt{\pi}/6, 2\sqrt{\pi}/3, \sqrt{\pi}/6\) | 步骤4：代入公式计算近似值以 \(n=2\) 为例： \(H_ 2(x) = 4x^2 - 2\)，归一化系数为 \(\frac{1}{\sqrt{8\sqrt{\pi}}}\)。 \(g(x) = x \cdot \frac{1}{8\sqrt{\pi}} (4x^2 - 2)^2 = \frac{x(16x^4 - 16x^2 + 4)}{8\sqrt{\pi}}\)。代入 \(m=3\) 的节点和权重： \[ \langle x \rangle \approx \sum_ {i=1}^3 w_ i g(x_ i) = w_ 1 g(x_ 1) + w_ 2 g(0) + w_ 3 g(x_ 3). \] 由于 \(g(x)\) 是奇函数，且节点对称，可直接得 \(\langle x \rangle = 0\)（对称性结果）。步骤5：验证结果与误差分析对称性分析：若被积函数为奇函数，积分结果应为零。对于位置期望值，\(\psi_ n^2(x)\) 是偶函数，乘以 \(x\) 后为奇函数，故结果精确为零。若计算偶函数量（如能量期望值），需更多节点以保证精度。误差由公式余项控制： \[ E = \frac{m! \sqrt{\pi}}{2^m (2m) !} f^{(2m)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty, \infty). \] 实际应用中可通过增加节点数 \(m\) 或分段自适应策略提高精度。关键点总结问题转化：将带指数衰减的无穷积分匹配高斯-埃尔米特公式的权函数 \(e^{-x^2}\)。节点选择：根据被积函数的多项式次数确定最小节点数，确保代数精度。对称性利用：奇偶性可简化计算或验证结果。误差控制：通过增加节点或结合自适应方法处理高振荡或边界层问题。此方法显著优于直接数值积分，尤其在处理量子力学中常见的高振荡或衰减函数时。