并行与分布式系统中的并行矩阵乘法：Cannon算法 题目描述 Cannon算法是一种用于并行与分布式系统的矩阵乘法算法，特别适用于网格拓扑的多处理器环境。该算法通过将输入矩阵分块并循环移位这些块，使每个处理器能够在本地计算部分结果，最终通过累加得到完整的矩阵乘积。其核心目标是减少通信开销，提高并行效率。假设有两个大矩阵 \( A \) 和 \( B \)（尺寸均为 \( n \times n \)），需要计算 \( C = A \times B \)。系统由 \( p \times p \) 个处理器组成网格（通常 \( p \ll n \)），每个处理器存储矩阵的一个分块（尺寸为 \( m \times m \)，其中 \( m = n/p \)）。算法需解决分块间的数据依赖问题，避免全局通信。 解题过程 初始化与分块分配 将矩阵 \( A \) 和 \( B \) 均匀分块为 \( p \times p \) 个子矩阵，每个子矩阵记为 \( A_ {i,j} \) 和 \( B_ {i,j} \)（\( i, j \in [ 0, p-1 ] \)）。 将处理器组织成 \( p \times p \) 的网格，处理器 \( P_ {i,j} \) 初始存储分块 \( A_ {i,j} \) 和 \( B_ {i,j} \)。 目标：每个处理器 \( P_ {i,j} \) 最终计算分块 \( C_ {i,j} = \sum_ {k=0}^{p-1} A_ {i,k} \times B_ {k,j} \)。但直接计算需要全局通信（例如收集所有 \( A_ {i,k} \) 和 \( B_ {k,j} \)），效率低下。 分块循环移位（对齐阶段） Cannon算法通过循环移位使每个处理器在本地逐步积累部分积，减少通信次数。 步骤1：初始偏移 对矩阵 \( A \)：将第 \( i \) 行的分块向左循环移动 \( i \) 位。即处理器 \( P_ {i,j} \) 将原存储的 \( A_ {i,j} \) 发送给 \( P_ {i, (j-i) \mod p} \)，并接收来自 \( P_ {i, (j+i) \mod p} \) 的分块。 对矩阵 \( B \)：将第 \( j \) 列的分块向上循环移动 \( j \) 位。即处理器 \( P_ {i,j} \) 将原存储的 \( B_ {i,j} \) 发送给 \( P_ {(i-j) \mod p, j} \)，并接收来自 \( P_ {(i+j) \mod p, j} \) 的分块。 移位后，处理器 \( P_ {i,j} \) 本地持有分块 \( A_ {i, (j+i) \mod p} \) 和 \( B_ {(i+j) \mod p, j} \)。此步骤确保后续计算中所需的分块对逐步对齐。 迭代计算与移位 算法进行 \( p \) 次迭代。在每次迭代 \( k \)（\( k = 0 \) 到 \( p-1 \)）中： 步骤2：本地矩阵乘法 每个处理器 \( P_ {i,j} \) 将当前本地存储的 \( A \) 分块和 \( B \) 分块相乘，将结果累加到本地 \( C_ {i,j} \) 中（初始 \( C_ {i,j} = 0 \)）。 步骤3：分块循环移位 \( A \) 分块：每个处理器将当前 \( A \) 分块向左循环移动1位（发送给左侧邻居，从右侧邻居接收）。 \( B \) 分块：每个处理器将当前 \( B \) 分块向上循环移动1位（发送给上方邻居，从下方邻居接收）。 移位后，处理器获得新的分块对，用于下一次迭代的乘法。 原理 ：经过 \( k \) 次移位，处理器 \( P_ {i,j} \) 持有的 \( A \) 分块原属于 \( A_ {i, (j+i+k) \mod p} \)，\( B \) 分块原属于 \( B_ {(i+j+k) \mod p, j} \)。当 \( k \) 遍历 \( 0 \) 到 \( p-1 \) 时，所有必要的 \( A_ {i, } \) 和 \( B_ { ,j} \) 分块均被组合一次，覆盖全部 \( p \) 个乘积项。 终止与结果收集 完成 \( p \) 次迭代后，每个处理器 \( P_ {i,j} \) 的本地 \( C_ {i,j} \) 即为最终分块结果。 无需额外通信，若需集中结果，可将所有 \( C_ {i,j} \) 发送到主处理器。 关键点 Cannon算法通过循环移位将通信局部化（仅邻处理器通信），避免全局数据交换。 总通信开销为 \( O(p \times m^2) \)，优于朴素方法的 \( O(p^2 \times m^2) \)。 假设处理器网格为环面拓扑（边界循环连接），确保移位连续性。