复化梯形公式的误差分析与步长优化
题目描述
复化梯形公式是数值积分中一种基础方法，通过将积分区间等分为若干子区间，并在每个子区间上应用梯形公式，再求和得到整个积分的近似值。本题要求分析复化梯形公式的截断误差（即余项），并基于误差估计推导步长的自适应选择策略，使积分结果满足指定精度要求。
解题过程
1. 复化梯形公式的构造
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，将区间 \(n\) 等分，步长 \(h = \frac{b-a}{n}\)，节点为 \(x_k = a + kh \ (k=0,1,\dots,n)\)。复化梯形公式为：
\[T_n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right]. \]
其几何意义是用分段线性插值逼近 \(f(x)\) 的积分。
2. 误差分析（余项推导）
- 单个子区间上的误差：
在子区间 \([x_k, x_{k+1}]\) 上，梯形公式的局部截断误差为（通过泰勒展开或插值余项推导）：
\[ R_k = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_k), \quad \xi_k \in [x_k, x_{k+1}]. \]
- 整体误差：
将各子区间的误差累加，并利用积分中值定理（若 \(f''(x)\) 连续），存在 \(\xi \in [a, b]\) 使得：
\[ E_n = \sum_{k=0}^{n-1} R_k = -\frac{h^3}{12} \sum_{k=0}^{n-1} f''(\xi_k) = -\frac{h^2(b-a)}{12} f''(\xi). \]
因此，复化梯形公式的余项为：
\[ E_n = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi). \]
关键结论：误差与 \(h^2\) 成正比，即方法具有二阶精度。
3. 步长优化策略
- 目标：给定误差容限 \(\epsilon\)，选择步长 \(h\) 使得 \(|E_n| \leq \epsilon\)。
- 步长估计：
由误差公式 \(|E_n| \approx \frac{(b-a)h^2}{12} |f''(\xi)|\)，解得：
\[ h \leq \sqrt{\frac{12\epsilon}{(b-a) \max_{x\in[a,b]} |f''(x)|}}. \]
但 \(\max |f''(x)|\) 通常未知，需通过数值估计（例如用差分近似二阶导数）。
- 自适应步长选择（实用方法）：
- 从初始步长 \(h_0\) 开始计算 \(T_n\)；
- 将步长减半（\(h \to h/2\)），计算 \(T_{2n}\)；
- 利用误差估计式 \(|I - T_n| \approx \frac{|T_{2n} - T_n|}{3}\)（基于 Richardson 外推），若满足：
\[ \frac{|T_{2n} - T_n|}{3} \leq \epsilon, \]
则接受 $ T_{2n} $ 为结果；否则继续将步长减半重复过程。
4. 实例验证
考虑积分 \(I = \int_0^1 e^{-x^2} dx\)，真实值约 0.746824。
- 取 \(n=8\)（\(h=0.125\)），计算 \(T_8\)；
- 取 \(n=16\)（\(h=0.0625\)），计算 \(T_{16}\)；
- 误差估计： \(|I - T_8| \approx \frac{|T_{16} - T_8|}{3}\)。
若该值小于容限，则停止；否则继续加密网格。
5. 总结
- 复化梯形公式的误差由二阶导数控制，与 \(h^2\) 成正比；
- 自适应步长策略通过比较不同步长的结果动态调整网格，平衡计算效率与精度；
- 该方法虽简单，但为更复杂的自适应算法（如自适应辛普森法）奠定了基础。