CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的多项式运算与NTT加速
字数 2508 2025-11-11 17:05:42

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的多项式运算与NTT加速

题目描述
CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格的后量子数字签名算法，其安全性依赖于模块格上带误差学习问题（MLWE）和模块短整数解问题（MSIS）的困难性。该算法的核心操作是在多项式环 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1)\)（例如 \(n=256, q=8380417\)）上进行多项式乘法。由于直接计算多项式乘法复杂度高（\(O(n^2)\)），Dilithium 使用数论变换（NTT） 将乘法复杂度优化至 \(O(n \log n)\)。本题要求详细解释 Dilithium 中的多项式运算规则及 NTT 的加速原理。

解题过程

步骤1：理解多项式环的结构

  1. 环定义：Dilithium 的多项式环为 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1)\)，其中：
    • \(n\) 是2的幂次（如256），确保 \(X^n + 1\) 是分圆多项式。
    • \(q\) 是质数（如8380417），满足 \(q \equiv 1 \mod 2n\)，以支持NTT。
  2. 运算规则：
    • 多项式系数在 \(\mathbb{Z}_q\) 中运算（模 \(q\) 算术）。
    • 多项式乘法结果需模 \(X^n + 1\)：即用 \(X^n \equiv -1\) 化简高次项。

示例：
设 \(n=4, q=17\)，多项式 \(a = 3X^3 + 2X + 1\), \(b = X^2 + 4\)。
计算 \(a \cdot b\)：

  • 直接乘法：\(3X^5 + 2X^3 + 12X^3 + X^2 + 8X + 4 = 3X^5 + 14X^3 + X^2 + 8X + 4\)。
  • 模 \(X^4 + 1\)：用 \(X^4 \equiv -1\) 替换高次项，得 \(3X^1 + 14X^3 + X^2 + 8X + 4\)（因 \(3X^5 = 3X \cdot X^4 \equiv -3X\)）。
  • 合并：\(14X^3 + X^2 + (3+8)X + 4 = 14X^3 + X^2 + 11X + 4\)。

步骤2：数论变换（NTT）的基本原理

  1. NTT的作用：将多项式从系数表示转换为点值表示，使乘法从逐点相乘完成，避免直接卷积计算。
  2. 根的选择：
    • 需要 \(2n\) 次单位根 \(\omega\)（满足 \(\omega^{2n} \equiv 1 \mod q\)）。
    • 由于 \(q \equiv 1 \mod 2n\)，存在本原根 \(\gamma\) 使得 \(\omega = \gamma^{(q-1)/(2n)}\)。
  3. 变换过程：
    • 对多项式 \(a \in R_q\)，其NTT结果 \(\hat{a}\) 是 \(a(\omega^{2i+1})\) 在 \(i=0,\dots,n-1\) 处的取值。
    • 逆NTT（INTT）通过 \(\omega^{-1}\) 还原系数。

示例（简化）：
设 \(n=2, q=17\)，需 \(4\) 次单位根 \(\omega\)。验证 \(\omega=3\)（因 \(3^4=81 \equiv 13 \mod 17\)？错误！实际需重新计算：\(3^2=9, 3^4=81 \mod 17=13\)，不满足1，故调整。正确根需满足 \(\omega^4 \equiv 1\)，例如 \(\omega=4\)（\(4^2=16, 4^4=256 \mod 17=1\)）。
多项式 \(a = 2X + 1\)，求NTT：

  • 在 \(\omega^1=4, \omega^3=4^3=64 \mod 17=13\) 处求值：
    \(a(4)=2\cdot4+1=9\), \(a(13)=2\cdot13+1=27 \mod 17=10\)。
  • 故 \(\hat{a} = (9, 10)\)。

步骤3：NTT加速多项式乘法的步骤

  1. 转换到NTT域：对输入多项式 \(a, b\) 计算 \(\hat{a} = \mathrm{NTT}(a)\), \(\hat{b} = \mathrm{NTT}(b)\)。
  2. 点乘：计算 \(\hat{c}[i] = \hat{a}[i] \cdot \hat{b}[i] \mod q\)（逐点相乘，复杂度 \(O(n)\)）。
  3. 逆转换：通过 \(c = \mathrm{INTT}(\hat{c})\) 还原乘积多项式。

关键点：

  • 直接乘法需 \(O(n^2)\) 次系数乘加，而NTT+点乘+INTT仅需 \(O(n \log n)\)。
  • Dilithium 中所有多项式（如公钥矩阵、签名噪声）均以NTT形式存储，提升效率。

步骤4：Dilithium中的具体优化技巧

  1. 负缠绕卷积：因模 \(X^n+1\)，NTT使用负根 \(\omega^{2i+1}\)（而非标准正根），避免额外化简步骤。
  2. 合并运算：在签名验证时，直接计算 \(\mathrm{NTT}(z) - c \cdot \mathrm{NTT}(t_1)\)（其中 \(z\) 为签名，\(t_1\) 为公钥，\(c\) 为挑战），在NTT域中完成线性组合。
  3. 拒绝采样：NTT不改变系数分布，故拒绝采样（确保小范数）可在系数域进行。

总结
Dilithium 通过NTT将多项式乘法优化至近线性复杂度，这是其实现高效后量子签名的核心。理解 \(R_q\) 的环结构、NTT的根选取及点乘规则，是掌握该算法的基础。实际实现还需考虑内存访问优化和抗侧信道攻击，但本文聚焦于算法层面的数学原理。

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的多项式运算与NTT加速 题目描述 CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格的后量子数字签名算法，其安全性依赖于模块格上带误差学习问题（MLWE）和模块短整数解问题（MSIS）的困难性。该算法的核心操作是在多项式环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X]/(X^n + 1) \)（例如 \( n=256, q=8380417 \)）上进行多项式乘法。由于直接计算多项式乘法复杂度高（\( O(n^2) \)），Dilithium 使用 数论变换（NTT） 将乘法复杂度优化至 \( O(n \log n) \)。本题要求详细解释 Dilithium 中的多项式运算规则及 NTT 的加速原理。 解题过程 步骤1：理解多项式环的结构 环定义 ：Dilithium 的多项式环为 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X ]/(X^n + 1) \)，其中： \( n \) 是2的幂次（如256），确保 \( X^n + 1 \) 是分圆多项式。 \( q \) 是质数（如8380417），满足 \( q \equiv 1 \mod 2n \)，以支持NTT。 运算规则 ： 多项式系数在 \( \mathbb{Z}_ q \) 中运算（模 \( q \) 算术）。 多项式乘法结果需模 \( X^n + 1 \)：即用 \( X^n \equiv -1 \) 化简高次项。 示例 ： 设 \( n=4, q=17 \)，多项式 \( a = 3X^3 + 2X + 1 \), \( b = X^2 + 4 \)。 计算 \( a \cdot b \)： 直接乘法：\( 3X^5 + 2X^3 + 12X^3 + X^2 + 8X + 4 = 3X^5 + 14X^3 + X^2 + 8X + 4 \)。 模 \( X^4 + 1 \)：用 \( X^4 \equiv -1 \) 替换高次项，得 \( 3X^1 + 14X^3 + X^2 + 8X + 4 \)（因 \( 3X^5 = 3X \cdot X^4 \equiv -3X \)）。 合并：\( 14X^3 + X^2 + (3+8)X + 4 = 14X^3 + X^2 + 11X + 4 \)。 步骤2：数论变换（NTT）的基本原理 NTT的作用 ：将多项式从系数表示转换为点值表示，使乘法从逐点相乘完成，避免直接卷积计算。 根的选择 ： 需要 \( 2n \) 次单位根 \( \omega \)（满足 \( \omega^{2n} \equiv 1 \mod q \)）。 由于 \( q \equiv 1 \mod 2n \)，存在本原根 \( \gamma \) 使得 \( \omega = \gamma^{(q-1)/(2n)} \)。 变换过程 ： 对多项式 \( a \in R_ q \)，其NTT结果 \( \hat{a} \) 是 \( a(\omega^{2i+1}) \) 在 \( i=0,\dots,n-1 \) 处的取值。 逆NTT（INTT）通过 \( \omega^{-1} \) 还原系数。 示例（简化） ： 设 \( n=2, q=17 \)，需 \( 4 \) 次单位根 \( \omega \)。验证 \( \omega=3 \)（因 \( 3^4=81 \equiv 13 \mod 17 \)？错误！实际需重新计算：\( 3^2=9, 3^4=81 \mod 17=13 \)，不满足1，故调整。正确根需满足 \( \omega^4 \equiv 1 \)，例如 \( \omega=4 \)（\( 4^2=16, 4^4=256 \mod 17=1 \)）。 多项式 \( a = 2X + 1 \)，求NTT： 在 \( \omega^1=4, \omega^3=4^3=64 \mod 17=13 \) 处求值： \( a(4)=2\cdot4+1=9 \), \( a(13)=2\cdot13+1=27 \mod 17=10 \)。 故 \( \hat{a} = (9, 10) \)。 步骤3：NTT加速多项式乘法的步骤 转换到NTT域 ：对输入多项式 \( a, b \) 计算 \( \hat{a} = \mathrm{NTT}(a) \), \( \hat{b} = \mathrm{NTT}(b) \)。 点乘 ：计算 \( \hat{c}[ i] = \hat{a}[ i] \cdot \hat{b}[ i ] \mod q \)（逐点相乘，复杂度 \( O(n) \)）。 逆转换 ：通过 \( c = \mathrm{INTT}(\hat{c}) \) 还原乘积多项式。 关键点 ： 直接乘法需 \( O(n^2) \) 次系数乘加，而NTT+点乘+INTT仅需 \( O(n \log n) \)。 Dilithium 中所有多项式（如公钥矩阵、签名噪声）均以NTT形式存储，提升效率。 步骤4：Dilithium中的具体优化技巧 负缠绕卷积 ：因模 \( X^n+1 \)，NTT使用负根 \( \omega^{2i+1} \)（而非标准正根），避免额外化简步骤。 合并运算 ：在签名验证时，直接计算 \( \mathrm{NTT}(z) - c \cdot \mathrm{NTT}(t_ 1) \)（其中 \( z \) 为签名，\( t_ 1 \) 为公钥，\( c \) 为挑战），在NTT域中完成线性组合。 拒绝采样 ：NTT不改变系数分布，故拒绝采样（确保小范数）可在系数域进行。 总结 Dilithium 通过NTT将多项式乘法优化至近线性复杂度，这是其实现高效后量子签名的核心。理解 \( R_ q \) 的环结构、NTT的根选取及点乘规则，是掌握该算法的基础。实际实现还需考虑内存访问优化和抗侧信道攻击，但本文聚焦于算法层面的数学原理。