期望最大化（EM）算法在伯努利分布混合模型中的参数估计过程 我将为您讲解EM算法在伯努利分布混合模型中的应用，这是一个处理二元数据聚类的经典方法。 问题描述 假设我们有一组由0和1组成的多维数据点，每个数据点可能来自K个不同的伯努利分布之一。我们的目标是通过EM算法估计： 每个伯努利分布的参数（每个维度为1的概率） 每个混合成分的权重（先验概率） 数据生成过程 每个数据点x_ i的生成过程为： 首先从类别分布中选择一个混合成分：z_ i ∼ Categorical(π) 根据选择的混合成分生成数据：x_ i ∼ Bernoulli(θ_ {z_ i}) EM算法求解过程 步骤1：初始化参数 随机初始化模型参数： 混合权重π_ k，满足∑π_ k = 1 每个伯努利分布的参数θ_ {kj}，表示第k个成分在第j维为1的概率 步骤2：E步（期望步） 计算每个数据点属于每个混合成分的后验概率： γ(z_ {ik}) = P(z_ i = k | x_ i, θ, π) = π_ k × ∏ {j=1}^D θ {kj}^{x_ {ij}} × (1-θ_ {kj})^{1-x_ {ij}} / ∑ {l=1}^K [ π_ l × ∏ {j=1}^D θ_ {lj}^{x_ {ij}} × (1-θ_ {lj})^{1-x_ {ij}} ] 其中γ(z_ {ik})是数据点i属于类别k的权重。 步骤3：M步（最大化步） 根据E步计算出的后验概率，更新模型参数： π_ k^{new} = (1/N) × ∑ {i=1}^N γ(z {ik}) θ_ {kj}^{new} = (∑ {i=1}^N γ(z {ik}) × x_ {ij}) / (∑ {i=1}^N γ(z {ik})) 步骤4：收敛判断 计算对数似然函数： log p(X|θ,π) = ∑ {i=1}^N log[ ∑ {k=1}^K π_ k × ∏ {j=1}^D θ {kj}^{x_ {ij}} × (1-θ_ {kj})^{1-x_ {ij}} ] 如果似然值的变化小于预设阈值，则算法收敛；否则返回步骤2继续迭代。 算法特性 保证每次迭代后似然函数不减 对初始值敏感，可能收敛到局部最优 适用于处理含有隐变量的概率模型参数估计 这个算法在文本分类、市场细分等二元数据聚类问题中有广泛应用。