SM4分组密码算法的线性变换L设计 题目描述 SM4算法是一种由中国国家密码管理局批准的分组密码算法，使用128位分组长度和128位密钥长度。其轮函数采用非平衡Feistel结构（32轮迭代）。线性变换L是轮函数中的重要组成部分，作用于32位数据，与非线性变换τ协同工作，提供算法的扩散性和安全性。本题要求详细解释线性变换L的设计原理、数学定义、具体运算步骤及其在轮函数中的作用。 解题过程 线性变换L的设计目标是实现有效扩散，确保单比特变化能快速影响整个数据块。下面逐步分解其实现细节。 线性变换L的数学定义 线性变换L是一个32位到32位的线性映射，定义为： \( L(B) = B \oplus (B \lll 2) \oplus (B \lll 10) \oplus (B \lll 18) \oplus (B \lll 24) \) 其中： \( B \) 是32位的输入数据。 \( \oplus \) 表示按位异或（XOR）操作。 \( \lll k \) 表示循环左移\( k \)位（例如，\( B \lll 2 \) 将B的二进制表示向左循环移动2位）。 线性变换L的逐步计算 假设输入\( B = b_ {31}b_ {30}...b_ 0 \)（每个\( b_ i \)为1比特），计算步骤如下： 步骤1 ：计算\( B \lll 2 \)。 将B的二进制序列左移2位，高位溢出部分补到低位。例如，若\( B = 1100...0 \)，则\( B \lll 2 = 00...011 \)。 步骤2 ：计算\( B \lll 10 \)、\( B \lll 18 \)和\( B \lll 24 \)（方法同步骤1）。 步骤3 ：对所有移位结果和原始B执行XOR。 具体操作： \( L(B) = B \oplus (B \lll 2) \oplus (B \lll 10) \oplus (B \lll 18) \oplus (B \lll 24) \)。 XOR操作按比特进行，规则为：0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1, 1 ⊕ 1 = 0。 线性变换L在轮函数中的角色 位置 ：在SM4的每轮中，线性变换L作用于非线性变换τ的输出上。 轮函数表示为：\( F(X_ i, X_ {i+1}, X_ {i+2}, X_ {i+3}, rk_ i) = X_ i \oplus L(\tau(X_ {i+1} \oplus X_ {i+2} \oplus X_ {i+3} \oplus rk_ i)) \) 其中： \( X_ i, X_ {i+1}, X_ {i+2}, X_ {i+3} \) 是当前轮的4个32位输入字。 \( rk_ i \) 是轮密钥。 \( \tau \) 是非线性变换（由4个8进8出的S盒并行构成）。 作用 ： 扩散性 ：通过循环移位和XOR，改变一个比特会影响输出中的多个比特（具体地，移位值2、10、18、24覆盖了32比特的不同位置，确保变化扩散到整个字）。 线性性质 ：L是线性操作，与非线性变换τ结合，增强算法抵抗差分和线性密码分析的能力。 设计原理分析 循环移位值的选择 ：移位值2、10、18、24是质数或与32互质的数，避免移位周期过短，确保比特充分混合。 效率 ：仅需移位和XOR，硬件实现成本低，适合嵌入式系统。 安全性 ：经分析，L的差分分支数为5（即单比特输入变化平均导致5比特输出变化），满足雪崩效应。 总结 线性变换L通过简单的循环移位和异或操作，以低计算成本实现了高效的扩散，是SM4轮函数中平衡非线性变换的关键组件。其设计体现了分组密码中线性层与非线性层协同工作的经典原则。