最大子数组和问题的变种——最多允许翻转一个子数组的最大子数组和

题目描述
给定一个整数数组nums，你可以选择翻转数组中的任意一个连续子数组（即将该子数组的元素顺序反转），然后返回可能得到的最大子数组和。注意，你最多只能进行一次翻转操作，也可以选择不翻转。

示例：
输入：nums = [1, -2, 3, -2, 4]
输出：8
解释：翻转子数组[-2, 3, -2]得到[1, 3, -2, 3, 4]，最大子数组和为3 + (-2) + 3 + 4 = 8

解题过程

这个问题可以分解为几个关键步骤，我们需要分别处理不翻转和翻转一次的情况。

1. 基础情况：不翻转
首先，我们需要计算原数组的最大子数组和。这可以通过经典的Kadane算法实现：

• 定义dp[i]为以第i个元素结尾的最大子数组和
• 状态转移方程：dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
• 最终结果是所有dp[i]中的最大值

2. 翻转一次的情况分析
当我们翻转一个子数组nums[i...j]时，实际上相当于：

• 保持nums[0...i-1]不变
• 将nums[i...j]反转
• 保持nums[j+1...n-1]不变

关键观察：翻转nums[i...j]后，最大子数组和可能出现在：

• 完全在翻转区间内
• 跨越翻转区间边界
• 完全不涉及翻转区间

但更有效的方法是考虑翻转操作对最大子数组和的影响。

3. 预处理数组
为了高效处理翻转情况，我们需要预处理四个数组：

left_max[i]：表示从数组开头到位置i（包括i）的最大子数组和

• 计算方法：从左到右应用Kadane算法，记录每个位置的最大值

right_max[i]：表示从位置i到数组末尾的最大子数组和

• 计算方法：从右到左应用Kadane算法

left_sum[i]：表示从开头到位置i的数组元素和

• 用于快速计算区间和

right_sum[i]：表示从位置i到末尾的数组元素和

4. 翻转情况的最大子数组和计算
对于每个可能的分割点i，考虑翻转操作跨越i的情况：

• 翻转区间为[k, i-1]，其中k < i
• 翻转后的最大子数组和 = left_max[k] + (right_sum[i] - left_sum[i-1]) + 某些项

更精确的公式：
对于每个位置i，最大可能和 = left_max[i] + max(0, 某个右侧最大和)

5. 完整算法步骤

1. 计算不翻转时的最大子数组和（基础情况）
2. 预处理left_max, right_max, left_sum, right_sum数组
3. 对于每个位置i，计算：
   • 以i为分割点的最大可能和
   • 考虑翻转区间完全在左侧、完全在右侧、跨越i的情况
4. 取所有情况的最大值

6. 时间复杂度优化
直接枚举所有可能的翻转区间是O(n²)的，我们需要优化到O(n)。

关键技巧：同时维护多个状态变量，在一次遍历中计算所有可能情况。

7. 最终解决方案
定义：

• no_rev：不翻转时的最大子数组和
• max_left[i]：从0到i的最大子数组和
• max_right[i]：从i到n-1的最大子数组和
• total_left[i]：从0到i的数组元素和
• total_right[i]：从i到n-1的数组元素和

对于每个位置i，考虑翻转区间结束于i-1的情况：
翻转后的最大和 = max_left[i] + max(0, max_right[i] - (total_right[i] - total_left[i-1]))

8. 完整代码框架

function maxSubarrayAfterFlip(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0: return 0
    
    # 基础情况：不翻转
    max_no_flip = kadane(nums)
    
    # 预处理数组
    left_max = [0] * n
    right_max = [0] * n
    left_sum = [0] * n
    right_sum = [0] * n
    
    # 填充预处理数组...
    
    # 计算翻转一次的最大值
    max_with_flip = -float('inf')
    for i in range(n):
        # 计算以i为关键点的各种翻转情况
        # 更新max_with_flip
    
    return max(max_no_flip, max_with_flip)

9. 边界情况处理

• 空数组：返回0
• 全负数数组：返回最大单个元素
• 全正数数组：返回数组总和

这个问题的核心在于将翻转操作转化为对数组分段的重新组合，通过预处理和状态维护将时间复杂度优化到O(n)。