自适应辛普森积分法在带奇异点函数积分中的变量替换技巧 我将为您讲解如何通过变量替换技巧，使自适应辛普森积分法能够有效处理带奇异点的函数积分问题。 问题描述 计算定积分 ∫₀¹ (1/√x) sin(x) dx。这个积分在x=0处有一个奇点（被积函数趋于无穷大），直接应用标准数值积分方法会失败或产生极大误差。 解题过程 第一步：识别奇点类型 被积函数f(x) = (1/√x) sin(x)在x=0处有1/√x形式的奇异性，属于代数奇点。当x→0⁺时，f(x) ∼ 1/√x，积分∫₀¹ (1/√x)dx是收敛的。 第二步：选择合适的变量替换 目标是通过变量替换x = φ(t)消除奇异性，使新被积函数在积分区间上光滑有界。 对于1/√x形式的奇点，令x = t²，则： dx/dt = 2t ⇒ dx = 2t dt 当x=0时，t=0；当x=1时，t=1 1/√x = 1/t sin(x) = sin(t²) 代入原积分： ∫₀¹ (1/√x) sin(x) dx = ∫₀¹ (1/t) sin(t²) · 2t dt = ∫₀¹ 2 sin(t²) dt 第三步：分析变换后的函数 新被积函数g(t) = 2 sin(t²)在[ 0,1 ]上： 在t=0处，g(0) = 2 sin(0) = 0（有界） 在整个区间上连续可导 无奇异性，适合标准数值积分 第四步：应用自适应辛普森积分法 现在可以对变换后的积分∫₀¹ 2 sin(t²) dt应用自适应辛普森法： 基本辛普森公式 ：在区间[ a,b]上，S(a,b) = (b-a)/6 · [ g(a) + 4g((a+b)/2) + g(b) ] 误差估计 ：计算S(a,(a+b)/2) + S((a+b)/2,b)，与S(a,b)比较，若误差超过容差，则递归细分 具体计算 ： g(t) = 2 sin(t²) g(0) = 2 sin(0) = 0 g(0.5) = 2 sin(0.25) ≈ 0.494 g(1) = 2 sin(1) ≈ 1.683 第五步：验证有效性 比较变换前后的数值行为： 变换前：在x=0附近需要极细分的网格才能捕捉奇异性 变换后：函数光滑，自适应算法能快速收敛 理论依据 变量替换x = t²的雅可比行列式dx/dt = 2t恰好抵消了1/√x的奇异性。更一般地，对于∫₀¹ x^{p} f(x)dx（p>-1），可通过x = t^{1/(1+p)}消除奇点。 实际应用建议 先分析奇异性的阶数，选择合适的替换 确保变换后的积分限正确 验证新函数在端点处的有界性 结合自适应积分法的误差控制 这种方法将困难的奇异积分转化为规则积分，使标准数值方法能够有效应用。