Hessenberg矩阵的QR迭代算法 我将为您详细讲解Hessenberg矩阵的QR迭代算法，这是一种高效计算矩阵特征值的重要方法。 问题描述 给定一个n×n矩阵A，我们希望计算它的所有特征值。直接对A应用QR迭代算法虽然可行，但计算成本较高（每次QR分解需O(n³)运算）。如果先将A转化为上Hessenberg形式（次对角线以下全为零），则QR迭代的计算复杂度可降至O(n²) per iteration，大大提高效率。 算法步骤详解 第一步：矩阵预处理（上Hessenberg化） 目标：通过相似变换将A转化为上Hessenberg矩阵H，即hᵢⱼ=0当i>j+1 方法：使用Householder变换或Givens旋转 过程：对第k列（k=1 to n-2），构造Householder矩阵Pₖ使得该列次对角线以下元素归零 数学表达：H = Pₖ⁻¹APₖ = PₖᵀAPₖ（因为Pₖ对称正交） 关键点：相似变换保持特征值不变，特征值问题A→H等价 第二步：Hessenberg矩阵的QR分解 特殊结构：只需对次对角线元素进行n-1次Givens旋转 Givens旋转构造：对每个i=1 to n-1，构造旋转矩阵Gᵢ消除hᵢ₊₁,ᵢ元素 分解过程：Q = G₁G₂⋯Gₙ₋₁，R = QᵀH 计算优势：QR分解仅需O(n²)运算（而非一般矩阵的O(n³)） 第三步：QR迭代步骤 令H₁ = H（初始Hessenberg矩阵） 对k=1,2,...直到收敛： a. 对Hₖ进行QR分解：Hₖ = QₖRₖ b. 计算下一个迭代矩阵：Hₖ₊₁ = RₖQₖ c. 检查次对角线元素是否满足收敛条件 第四步：收敛性分析 移位加速：加入Wilkinson移位可加速收敛 收敛模式：次对角线元素|hᵢ₊₁,ᵢ|逐渐趋于零 降阶处理：当|hᵢ₊₁,ᵢ| < ε(|hᵢᵢ| + |hᵢ₊₁,ᵢ₊₁|)时，可将矩阵分块处理 最终形式：H收敛到拟上三角矩阵（实Schur形式） 第五步：特征值提取 从收敛后的拟上三角矩阵直接读取特征值： 1×1块：实数特征值 2×2块：一对共轭复数特征值 特征值精度：通常达到机器精度水平 算法优势 计算高效：每次迭代O(n²)而非O(n³) 数值稳定：基于正交变换保持数值精度 自动处理复数特征值：通过2×2块自然处理 这个算法是当前最实用的特征值计算方法之一，结合了Hessenberg化简的高效性和QR迭代的稳定性。