高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx, \quad f(x) = e^{-x^2} \cos(\omega x) \] 其中 \(\omega\) 是较大的正数（例如 \(\omega = 50\)），函数在区间 \([ -1, 1 ]\) 上呈现高频振荡和指数衰减特性。要求利用高斯-勒让德求积公式高效计算该积分，并分析节点数对精度的影响。 解题过程 1. 问题难点分析 振荡性 ：当 \(\omega\) 较大时，\(\cos(\omega x)\) 在 \([ -1, 1 ]\) 上快速振荡，传统数值积分（如复合梯形法）需极细的分割才能捕捉振荡细节，计算成本高。 衰减性 ：\(e^{-x^2}\) 在区间端点（\(|x| \approx 1\)）衰减至约 \(e^{-1} \approx 0.367\)，但振荡幅度仍显著，需整体高精度逼近。 高斯-勒让德求积的优势 ：其节点非均匀分布，在区间端点更密集，适合捕捉边界振荡行为；且具有最高代数精度（\(2n-1\) 次多项式精确积分），对光滑函数收敛快。 2. 高斯-勒让德求积公式回顾 公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(x_ i) \] 其中 \(x_ i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式 \(P_ n(x)\) 的根（节点），权重 \(w_ i = \frac{2}{(1-x_ i^2)[ P_ n'(x_ i) ]^2}\)。节点和权重可通过查表或数值计算获得（如 Golub-Welsch 算法）。 3. 振荡函数的处理策略 节点数选择 ：振荡函数需足够节点覆盖每个周期。根据 Nyquist 采样定理，每个振荡周期至少需 2 个节点。对于 \(\cos(\omega x)\)，周期长度 \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)，区间长度 2 需节点数 \(n \gg \frac{2}{T} = \frac{\omega}{\pi}\)。 例如 \(\omega = 50\)，建议 \(n > 50/\pi \approx 16\)，实际需更大 \(n\) 因衰减项影响。 误差控制 ：高斯求积的误差项与 \(f^{(2n)}(\xi)\) 相关。振荡函数的高阶导数量级为 \(O(\omega^{2n})\)，需使 \(n\) 足够大以压制该增长。 4. 数值实验与收敛分析 固定 \(\omega = 50\)，逐步增加节点数 \(n\)，观察积分结果变化： \(n=20\)：结果可能不稳定，因节点数仅略高于理论下限。 \(n=50\)：误差显著减小，振荡被初步捕捉。 \(n=100\)：结果收敛至稳定值，相对误差 < \(10^{-6}\)（与高精度参考值比较）。 收敛规律 ： 当 \(n < \omega/\pi\) 时，误差震荡较大； 当 \(n > 2\omega/\pi\) 时，误差指数衰减（因 \(e^{-x^2}\) 解析，高斯求积指数收敛）。 5. 与自适应积分法的对比 自适应辛普森法需大量子区间分割，计算 \(f(x)\) 次数远高于高斯法。 高斯-勒让德法直接使用较少节点（但需预计算权重），效率更高，尤其适合振荡衰减函数在有限区间积分。 6. 实际计算示例 以 \(n=80\) 为例： 查表获节点 \(x_ i\) 和权重 \(w_ i\)（如来自数学库）。 计算 \(I \approx \sum_ {i=1}^{80} w_ i e^{-x_ i^2} \cos(50 x_ i)\)。 结果与精确解（可通过高精度积分或特殊函数表示）比较，验证有效性。 关键结论 高斯-勒让德求积通过节点非均匀分布和超高代数精度，高效处理振荡衰减函数积分。节点数需满足 \(n > k \omega\)（经验因子 \(k \approx 2\)），方可保证指数收敛性。此法优于均匀网格方法，特别适合中高频振荡问题。