其中节点 $ x_i $ 是 $ n $ 次勒让德多项式的根，权重 $ w_i $ 由多项式性质确定。该公式具有 $ 2n-1 $ 次代数精度。

 新节点 $ x_i^* $ 需满足：保留原高斯节点，且新公式具有最高可能的代数精度（通常为 $ 3n+1 $ 次）。

 - 这一条件保证了新公式在保留高斯节点的基础上，能通过正交性最大化代数精度。

高斯-克朗罗德积分法的权函数与正交多项式关系分析 题目描述 高斯-克朗罗德积分法是一种结合了高斯求积公式和误差估计的自适应积分技术。其核心思想是通过在经典高斯求积节点的基础上插入额外节点，构造一个更高精度的求积公式，同时利用两个公式的差值作为误差估计。本题要求分析该积分法中权函数与正交多项式的关系，解释节点和权重的数学来源，并说明这种关系如何保证公式的数值稳定性。 解题过程 高斯求积公式回顾 经典高斯求积公式（如高斯-勒让德公式）用于计算积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其形式为： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中节点 \( x_ i \) 是 \( n \) 次勒让德多项式的根，权重 \( w_ i \) 由多项式性质确定。该公式具有 \( 2n-1 \) 次代数精度。 高斯-克朗罗德公式的构造思想 为了在高斯公式基础上实现误差估计，克朗罗德（Kronrod）提出在原有 \( n \) 个高斯节点中插入 \( n+1 \) 个新节点，形成 \( 2n+1 \) 个节点的扩展公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{2n+1} w_ i^* f(x_ i^ ) \] 新节点 \( x_ i^ \) 需满足：保留原高斯节点，且新公式具有最高可能的代数精度（通常为 \( 3n+1 \) 次）。 正交多项式关系的关键作用 克朗罗德节点的选择依赖于一类与经典正交多项式（如勒让德多项式）相关的扩展正交多项式。具体来说： 设 \( P_ n(x) \) 为 \( n \) 次勒让德多项式，其根为原高斯节点。 克朗罗德节点是多项式 \( E_ {n+1}(x) \) 的根，其中 \( E_ {n+1}(x) \) 与 \( P_ n(x) \) 满足正交关系： \[ \int_ {-1}^{1} P_ n(x) E_ {n+1}(x) x^k \, dx = 0 \quad (k=0,1,\dots,n) \] 这一条件保证了新公式在保留高斯节点的基础上，能通过正交性最大化代数精度。 权重的计算与稳定性 权重 \( w_ i^* \) 通过解线性方程组或利用正交多项式性质计算。由于克朗罗德公式继承了高斯公式的正交多项式结构，其权重均为正数（数学可证），这是数值稳定性的关键：正权重避免舍入误差放大，确保计算结果可靠。 实际应用中的权衡 虽然增加节点可提高精度，但节点数 \( 2n+1 \) 需满足实际计算成本约束。常见组合如 \( n=7 \) 的高斯公式搭配 \( 15 \) 个节点的克朗罗德扩展（即G7-K15规则），在误差控制与效率间取得平衡。 总结 高斯-克朗罗德积分法的性能依赖于正交多项式理论：节点由扩展正交多项式的根决定，权重由正交性条件推导，正权重保障稳定性。这种关系使得该方法既能高效逼近积分值，又能提供可靠的误差估计，成为自适应积分中的核心工具。