基于线性规划的图最小控制集问题求解示例
字数 1862 2025-11-11 11:47:58

基于线性规划的图最小控制集问题求解示例

问题描述
图最小控制集问题（Minimum Dominating Set, MDS）是图论中的经典NP难问题。给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集合（设 \(|V| = n\)），\(E\) 是边集合。控制集的定义是：若顶点子集 \(D \subseteq V\) 满足图中任意顶点要么属于 \(D\)，要么与 \(D\) 中的至少一个顶点相邻，则 \(D\) 称为控制集。最小控制集问题是找到顶点数量最少的控制集。

线性规划建模

  1. 定义决策变量：对每个顶点 \(i \in V\)，引入二进制变量 \(x_i \in \{0,1\}\)，其中 \(x_i = 1\) 表示顶点 \(i\) 被选入控制集，否则为 0。
  2. 目标函数：最小化控制集的顶点数量，即 \(\min \sum_{i \in V} x_i\)。
  3. 约束条件：对每个顶点 \(j \in V\)，要求其自身或至少一个相邻顶点被选中。形式化表示为：

\[ x_j + \sum_{i \in N(j)} x_i \geq 1 \quad \forall j \in V, \]

其中 \(N(j)\) 表示顶点 \(j\) 的邻居集合（不包括 \(j\) 自身）。
4. 问题难点：直接求解整数规划是NP难的，因此可先松弛为线性规划（将 \(x_i \in \{0,1\}\) 松弛为 \(0 \leq x_i \leq 1\)），再通过舍入或其他技巧得到近似解。

求解步骤

  1. 松弛问题：将二进制变量松弛为连续变量，得到线性规划问题：

\[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_{i \in V} x_i \\ \text{s.t.} \quad & x_j + \sum_{i \in N(j)} x_i \geq 1 \quad \forall j \in V, \\ & 0 \leq x_i \leq 1 \quad \forall i \in V. \end{aligned} \]

  1. 求解线性规划：使用单纯形法或内点法求解松弛问题，得到最优解 \(x^*\)。
  2. 舍入策略：由于松弛解可能为分数，需将其转化为整数解。常用舍入方法：
    • 阈值舍入：设定阈值 \(\theta \in (0,1]\)（如 \(\theta = 0.5\)），若 \(x_i^* \geq \theta\)，则令 \(x_i = 1\)；否则为 0。
    • 随机舍入：以概率 \(x_i^*\) 将顶点 \(i\) 选入控制集。
  3. 可行性调整：舍后后的解可能不满足控制集条件，需检查并补选顶点：若某顶点 \(j\) 未被覆盖（即 \(x_j = 0\) 且所有邻居 \(x_i = 0\)），则强制将 \(j\) 或其一邻居加入控制集。

实例演示
考虑图 \(G\) 有顶点集 \(V = \{1,2,3\}\)，边集 \(E = \{(1,2), (2,3)\}\)。

  1. 建模：
    • 变量：\(x_1, x_2, x_3\)。
    • 目标：\(\min x_1 + x_2 + x_3\)。
    • 约束：
      • 顶点1：\(x_1 + x_2 \geq 1\)（邻居为2）；
      • 顶点2：\(x_2 + x_1 + x_3 \geq 1\)；
      • 顶点3：\(x_3 + x_2 \geq 1\)。
  2. 松弛求解：最优解为 \(x_1 = 0.5, x_2 = 0.5, x_3 = 0.5\)，目标值 1.5。
  3. 舍入：设阈值 \(\theta = 0.5\)，所有顶点被选入控制集 \(D = \{1,2,3\}\)，但此解非最小。
    • 改进：若调整舍入策略（如随机舍入），可能得到更优解，例如 \(D = \{2\}\) 即为最小控制集。
  4. 理论保证：线性规划松弛提供下界（本例为1.5），实际最小控制集大小为1，说明舍入策略需进一步优化。

总结
线性规划松弛为最小控制集问题提供了近似求解框架，结合舍入策略可得到理论有界的近似解（如对一般图，基于LP舍入的近似比为 \(O(\log n)\)）。实际应用中，可结合启发式方法提升解质量。

基于线性规划的图最小控制集问题求解示例 问题描述 图最小控制集问题（Minimum Dominating Set, MDS）是图论中的经典NP难问题。给定一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集合（设 \( |V| = n \)），\( E \) 是边集合。控制集的定义是：若顶点子集 \( D \subseteq V \) 满足图中任意顶点要么属于 \( D \)，要么与 \( D \) 中的至少一个顶点相邻，则 \( D \) 称为控制集。最小控制集问题是找到顶点数量最少的控制集。 线性规划建模 定义决策变量 ：对每个顶点 \( i \in V \)，引入二进制变量 \( x_ i \in \{0,1\} \)，其中 \( x_ i = 1 \) 表示顶点 \( i \) 被选入控制集，否则为 0。 目标函数 ：最小化控制集的顶点数量，即 \( \min \sum_ {i \in V} x_ i \)。 约束条件 ：对每个顶点 \( j \in V \)，要求其自身或至少一个相邻顶点被选中。形式化表示为： \[ x_ j + \sum_ {i \in N(j)} x_ i \geq 1 \quad \forall j \in V, \] 其中 \( N(j) \) 表示顶点 \( j \) 的邻居集合（不包括 \( j \) 自身）。 问题难点 ：直接求解整数规划是NP难的，因此可先松弛为线性规划（将 \( x_ i \in \{0,1\} \) 松弛为 \( 0 \leq x_ i \leq 1 \)），再通过舍入或其他技巧得到近似解。 求解步骤 松弛问题 ：将二进制变量松弛为连续变量，得到线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {i \in V} x_ i \\ \text{s.t.} \quad & x_ j + \sum_ {i \in N(j)} x_ i \geq 1 \quad \forall j \in V, \\ & 0 \leq x_ i \leq 1 \quad \forall i \in V. \end{aligned} \] 求解线性规划 ：使用单纯形法或内点法求解松弛问题，得到最优解 \( x^* \)。 舍入策略 ：由于松弛解可能为分数，需将其转化为整数解。常用舍入方法： 阈值舍入 ：设定阈值 \( \theta \in (0,1] \)（如 \( \theta = 0.5 \)），若 \( x_ i^* \geq \theta \)，则令 \( x_ i = 1 \)；否则为 0。 随机舍入 ：以概率 \( x_ i^* \) 将顶点 \( i \) 选入控制集。 可行性调整 ：舍后后的解可能不满足控制集条件，需检查并补选顶点：若某顶点 \( j \) 未被覆盖（即 \( x_ j = 0 \) 且所有邻居 \( x_ i = 0 \)），则强制将 \( j \) 或其一邻居加入控制集。 实例演示 考虑图 \( G \) 有顶点集 \( V = \{1,2,3\} \)，边集 \( E = \{(1,2), (2,3)\} \)。 建模 ： 变量：\( x_ 1, x_ 2, x_ 3 \)。 目标：\( \min x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \)。 约束： 顶点1：\( x_ 1 + x_ 2 \geq 1 \)（邻居为2）； 顶点2：\( x_ 2 + x_ 1 + x_ 3 \geq 1 \)； 顶点3：\( x_ 3 + x_ 2 \geq 1 \)。 松弛求解 ：最优解为 \( x_ 1 = 0.5, x_ 2 = 0.5, x_ 3 = 0.5 \)，目标值 1.5。 舍入 ：设阈值 \( \theta = 0.5 \)，所有顶点被选入控制集 \( D = \{1,2,3\} \)，但此解非最小。 改进：若调整舍入策略（如随机舍入），可能得到更优解，例如 \( D = \{2\} \) 即为最小控制集。 理论保证 ：线性规划松弛提供下界（本例为1.5），实际最小控制集大小为1，说明舍入策略需进一步优化。 总结 线性规划松弛为最小控制集问题提供了近似求解框架，结合舍入策略可得到理论有界的近似解（如对一般图，基于LP舍入的近似比为 \( O(\log n) \)）。实际应用中，可结合启发式方法提升解质量。