奇怪的打印机的最小打印次数问题（字符替换成本版本）

题目描述

有一个奇怪的打印机，它每次打印时可以执行以下两种操作之一：

1. 在字符串的任意位置打印一个任意字符（成本为cost_add）
2. 将字符串中任意位置的某个字符替换为另一个字符（成本为cost_replace）

现在给定一个目标字符串s，以及添加字符的成本cost_add和替换字符的成本cost_replace。请问打印出恰好为字符串s的最小总成本是多少？

解题过程

这个问题可以看作是最小编辑距离问题的变种，但有一个关键区别：我们不是从空字符串开始构建，而是从"无"开始，通过添加和替换操作来构建目标字符串。

步骤1：定义状态

我们定义dp[i][j]表示打印出子串s[i...j]（即从索引i到索引j的子串）所需的最小成本。

步骤2：状态转移方程

考虑如何得到子串s[i...j]：

1. 基本情况：当i = j时，子串只有一个字符。我们可以直接添加这个字符，成本为cost_add。所以dp[i][i] = cost_add。

2. 一般情况：当i < j时，我们有两种策略：

   • 策略1：先打印s[i...j-1]，然后在末尾添加字符s[j]。
     成本 = dp[i][j-1] + cost_add

   • 策略2：先打印s[i+1...j]，然后在开头添加字符s[i]。
     成本 = dp[i+1][j] + cost_add

   • 策略3：如果s[i] == s[j]，我们可以利用这个特性来优化。
     当首尾字符相同时，我们可以先打印整个区间但不包括其中一个端点，然后通过替换来调整。
     具体来说：成本 = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1])（因为首尾相同，我们可以用较低的成本完成）

   • 策略4：将区间分割为两部分，分别打印然后组合。
     对于所有k满足i ≤ k < j：
     成本 = dp[i][k] + dp[k+1][j]

步骤3：完整的状态转移方程

综合以上策略，我们得到：

如果 i == j:
    dp[i][j] = cost_add

否则:
    dp[i][j] = min(
        dp[i][j-1] + cost_add,                    # 策略1
        dp[i+1][j] + cost_add,                    # 策略2
        dp[i+1][j] + cost_replace,                # 替换开头字符
        dp[i][j-1] + cost_replace,                # 替换结尾字符
        min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) if s[i] == s[j]  # 策略3
    )
    
    # 策略4：区间分割
    for k in range(i, j):
        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])

步骤4：计算顺序

由于这是区间动态规划问题，我们需要按照区间长度从小到大的顺序计算：

1. 长度为1的区间：所有dp[i][i]
2. 长度为2的区间：所有dp[i][i+1]
3. 长度为3的区间：所有dp[i][i+2]
4. ...
5. 长度为n的区间：dp[0][n-1]

步骤5：示例分析

假设s = "ab", cost_add = 1, cost_replace = 1

计算过程：

1. 长度为1的区间：

   • dp[0][0] = cost_add = 1（打印"a"）
   • dp[1][1] = cost_add = 1（打印"b"）

2. 长度为2的区间dp[0][1]（打印"ab"）：

   • 策略1：dp[0][0] + cost_add = 1 + 1 = 2（先打印"a"，再添加"b"）
   • 策略2：dp[1][1] + cost_add = 1 + 1 = 2（先打印"b"，再添加"a"）
   • 策略3：不适用（s[0] ≠ s[1]）
   • 策略4：dp[0][0] + dp[1][1] = 1 + 1 = 2
   • 最小值为2

步骤6：算法实现

def strange_printer_cost(s, cost_add, cost_replace):
    n = len(s)
    if n == 0:
        return 0
    
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    # 初始化长度为1的区间
    for i in range(n):
        dp[i][i] = cost_add
    
    # 按区间长度从小到大计算
    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            
            # 初始化为一个较大值
            dp[i][j] = float('inf')
            
            # 策略1和策略2
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + cost_add)
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][j] + cost_add)
            
            # 替换策略
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][j] + cost_replace)
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + cost_replace)
            
            # 策略3：首尾字符相同时的优化
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]))
            
            # 策略4：区间分割
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
    
    return dp[0][n-1]

步骤7：复杂度分析

• 时间复杂度：O(n³)，其中n是字符串长度。有三重循环：区间长度、起始位置、分割点。
• 空间复杂度：O(n²)，用于存储dp表。

这个算法通过动态规划系统地考虑了所有可能的打印策略，确保找到最小成本的打印方案。