其中 $ x_i $ 和 $ w_i $ 是埃尔米特多项式的根和对应权重。  

 注意：公式中权重 $ w_i $ 已包含 $ e^{-t_i^2} $ 因子，但此处需显式处理变换后的权重函数。

高斯-埃尔米特求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在某个点 \( x = c \) 附近存在边界层（即函数在该区域变化剧烈）。高斯-埃尔米特求积公式直接应用于此类积分时，由于节点分布针对权重函数 \( e^{-x^2} \) 优化，可能无法有效捕捉边界层特征，导致精度不足。需通过变量替换技巧调整节点分布，使其在边界层附近更密集。 解题过程 问题分析 高斯-埃尔米特求积公式的形式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i g(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 和 \( w_ i \) 是埃尔米特多项式的根和对应权重。 若 \( f(x) \) 在 \( x=c \) 处有边界层（例如 \( f(x) = \tanh(k(x-c)) \)，\( k \gg 1 \)），直接使用公式时，节点可能无法覆盖边界层的快速变化区域，误差较大。 变量替换策略 引入单调可微的替换函数 \( x = \phi(t) \)，将原积分变换为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-[ \phi(t) ]^2} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt \] 目标：通过 \( \phi(t) \) 将 \( t \)-空间的均匀节点映射到 \( x \)-空间的边界层附近密集分布。 常用替换函数（以边界层在 \( x=c \) 为例）： 线性平移缩放 ：若边界层范围对称，可用 \( x = c + \alpha t \)（\( \alpha \) 控制缩放）。 非线性压缩 ：例如 \( x = c + \beta \operatorname{arsinh}(t) \)，使 \( t \)-空间的均匀节点在 \( x \)-空间边界层处被压缩。 替换函数选择与调整 以 \( f(x) = \tanh(k(x-c)) \) 为例，边界层宽度约 \( \sim 1/k \)。 选择 \( x = c + \frac{1}{k} \operatorname{arsinh}(\lambda t) \)，其中 \( \lambda \) 为缩放因子。导数： \[ \phi'(t) = \frac{\lambda}{k \sqrt{1 + (\lambda t)^2}} \] 替换后积分变为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-[ c + \frac{1}{k} \operatorname{arsinh}(\lambda t) ]^2} \cdot \tanh(\operatorname{arsinh}(\lambda t)) \cdot \frac{\lambda}{k \sqrt{1 + (\lambda t)^2}} \, dt \] 此时被积函数在 \( t \)-空间变化更平缓，高斯-埃尔米特公式的节点在 \( t \)-空间均匀分布，对应 \( x \)-空间在边界层附近更密集。 参数优化 缩放因子 \( \lambda \) 需根据边界层宽度调整：一般使 \( \lambda \sim k \)，确保 \( t \in [ -1,1 ] \) 时覆盖 \( x \)-空间的边界层区域。 通过试验或误差估计选择 \( \lambda \)：例如对简单测试函数计算误差，或根据边界层二阶导数估计节点间距要求。 数值实现步骤 步骤1：确定边界层位置 \( c \) 和宽度参数 \( k \)。 步骤2：选择替换函数 \( x = \phi(t) \) 及参数（如 \( \lambda \)）。 步骤3：计算高斯-埃尔米特节点 \( \{t_ i\} \) 和权重 \( \{w_ i\} \)（标准表或库函数）。 步骤4：对每个 \( t_ i \)，计算 \( x_ i = \phi(t_ i) \) 和雅可比因子 \( J_ i = \phi'(t_ i) \)。 步骤5：近似积分： \[ I \approx \sum_ {i=1}^n w_ i \left[ e^{-\phi(t_ i)^2} f(\phi(t_ i)) \phi'(t_ i) \right ] \] 注意：公式中权重 \( w_ i \) 已包含 \( e^{-t_ i^2} \) 因子，但此处需显式处理变换后的权重函数。 误差控制 由于替换改变了被积函数的光滑性，需验证变换后函数在 \( t \)-空间的导数界。 若边界层过窄，可增加节点数 \( n \) 或调整 \( \lambda \) 进一步压缩节点分布。 总结 通过变量替换将边界层区域的非均匀性映射到高斯-埃尔米特节点的分布上，显著提升了对边界层函数的积分精度。关键点在于替换函数的选择和参数优化，使节点在关键区域加密。