对称矩阵特征值问题的分治法
题目描述
对称矩阵特征值问题的分治法是一种高效计算对称矩阵全部特征值和特征向量的算法。它通过递归地将矩阵划分为更小的子块，并利用子问题的解组合得到原问题的解，其时间复杂度约为 \(O(n^3)\)，但实际效率优于传统QR算法。该方法的核心思想是将对称矩阵三对角化后，通过秩-1修正矩阵的特征分解递归求解。
解题过程
1. 矩阵三对角化
- 首先通过Householder变换将原对称矩阵 \(A\) 转化为三对角矩阵 \(T\)：
\[ T = Q^T A Q, \]
其中 \(Q\) 是正交矩阵。这一步骤的复杂度为 \(O(n^3)\)，但只需执行一次。
- 三对角矩阵 \(T\) 的非零元素仅出现在主对角线及其相邻两侧，形式如下：
\[ T = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & & \\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & \beta_{n-1} & \alpha_n \end{bmatrix}. \]
2. 分治策略
- 将三对角矩阵 \(T\) 划分为两个子块：
\[ T = \begin{bmatrix} T_1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{bmatrix} + \beta_k v v^T, \]
其中 \(T_1\) 和 \(T_2\) 是更小的三对角矩阵，\(v\) 是仅含两个非零元素（通常为1）的向量，\(\beta_k\) 是划分点处的非对角元。
- 例如，若从第 \(k\) 行划分，则 \(v\) 的第 \(k\) 和 \(k+1\) 分量为1，其余为0。
3. 递归求解子问题
- 对 \(T_1\) 和 \(T_2\) 递归调用分治法，得到它们的特征分解：
\[ T_1 = Q_1 \Lambda_1 Q_1^T, \quad T_2 = Q_2 \Lambda_2 Q_2^T. \]
- 此时原矩阵可写为：
\[ T = \begin{bmatrix} Q_1 \Lambda_1 Q_1^T & 0 \\ 0 & Q_2 \Lambda_2 Q_2^T \end{bmatrix} + \beta_k v v^T = Q_0 \Lambda_0 Q_0^T + \beta_k v v^T, \]
其中 \(Q_0 = \text{diag}(Q_1, Q_2)\)，\(\Lambda_0 = \text{diag}(\Lambda_1, \Lambda_2)\)。
4. 秩-1修正的特征值问题
- 问题转化为求矩阵 \(D + \rho u u^T\) 的特征值，其中 \(D = \Lambda_0\) 是对角矩阵，\(\rho = \beta_k\)，\(u = Q_0^T v\)。
- 通过求解特征值方程：
\[ \det(D + \rho u u^T - \lambda I) = 0, \]
利用矩阵行列式引理（Matrix Determinant Lemma）转化为标量方程：
\[ 1 + \rho \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{d_i - \lambda} = 0. \]
- 该方程可通过牛顿迭代法等数值方法求解，得到修正后的特征值 \(\lambda\)。
5. 特征向量计算
- 若 \(\lambda\) 是修正后的特征值，对应特征向量为：
\[ x = (D - \lambda I)^{-1} u. \]
- 最后通过正交变换 \(Q_0\) 和递归过程中的累积变换，得到原矩阵 \(A\) 的特征向量：
\[ \text{最终特征向量} = Q \times (\text{递归过程中所有 } Q_0 \text{ 的乘积}) \times x. \]
6. 算法复杂度与稳定性
- 分治法的复杂度主要来自三对角化（\(O(n^3)\)）和特征值修正（每个递归层 \(O(n^2)\)），总复杂度为 \(O(n^3)\)。
- 实际应用中需注意数值稳定性，例如通过延迟收敛策略（deflation）处理接近的特征值。
总结
分治法通过递归划分和秩-1修正，将大规模对称特征值问题转化为小规模子问题，显著提升了计算效率。其核心步骤包括三对角化、子问题递归求解、特征值修正和特征向量重构，是LAPACK等数值库中SYEVR例程的基础算法。