复化辛普森公式的误差分析与步长选择
字数 2306 2025-11-11 06:22:59

复化辛普森公式的误差分析与步长选择

题目描述
计算定积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\)，其中 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上四阶连续可导。使用复化辛普森公式进行数值积分时，如何分析其截断误差，并据此选择最优的步长 \(h\)（即子区间数量 \(n\)），使得在给定精度要求下计算量最小？

解题过程

  1. 复化辛普森公式回顾
    • 将区间 \([a, b]\) 等分为 \(n\)（偶数）个子区间，步长 \(h = (b - a)/n\)，节点 \(x_k = a + kh\)（\(k = 0, 1, \dots, n\)）。
    • 复化辛普森公式为：

\[ S_n(f) = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + f(x_n) + 4 \sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1}) + 2 \sum_{k=1}^{n/2-1} f(x_{2k}) \right]。 \]

  • 每个子区间 \([x_{2k-2}, x_{2k}]\) 应用辛普森公式，整体公式是这些子区间结果的叠加。
  1. 误差分析：截断误差来源
    • 单段辛普森公式的截断误差（余项）为：

\[ E_{\text{single}} = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in [a, b]。 \]

 该误差基于四阶导函数在区间内的性质。
  • 复化后，总误差是各子区间误差的累加。由于 \(f^{(4)}(x)\) 连续，由积分中值定理，存在 \(\eta \in [a, b]\) 使得总误差为：

\[ E_n = -\frac{(b-a)}{180} h^4 f^{(4)}(\eta)。 \]

  • 推导要点：
    • 每个子区间 \([x_{2k-2}, x_{2k}]\) 长度为 \(2h\)，其辛普森公式误差为 \(-\frac{(2h)^5}{2880} f^{(4)}(\xi_k) = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi_k)\)。
    • 总误差 \(E_n = \sum_{k=1}^{n/2} -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi_k) = -\frac{h^4(b-a)}{180} \cdot \frac{1}{n/2} \sum_{k=1}^{n/2} f^{(4)}(\xi_k)\)。
    • 由于 \(f^{(4)}(x)\) 连续，均值 \(\frac{1}{n/2} \sum_{k=1}^{n/2} f^{(4)}(\xi_k) = f^{(4)}(\eta)\)，从而得到上述公式。
  1. 步长选择策略
    • 误差公式 \(|E_n| \approx \frac{(b-a)}{180} h^4 |f^{(4)}(\eta)|\) 表明误差以 \(O(h^4)\) 衰减。
    • 给定精度要求 \(\epsilon\)（允许的最大绝对误差），需满足 \(|E_n| \leq \epsilon\)。
    • 步长选择步骤：
      • 粗略估计：若 \(M_4 = \max_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|\) 已知，解不等式 \(\frac{(b-a)}{180} h^4 M_4 \leq \epsilon\) 得：

\[ h \leq \left( \frac{180 \epsilon}{(b-a) M_4} \right)^{1/4}。 \]

   子区间数 $ n = \frac{b-a}{h} $ 需取偶数并向上取整。
 - **自适应调整**：若 $ M_4 $ 未知，可先取较小 $ n $（如 $ n=2 $）计算 $ S_n(f) $，再倍增 $ n $ 计算 $ S_{2n}(f) $，利用误差估计式 $ |I - S_{2n}| \approx \frac{|S_{2n} - S_n|}{15} $（基于 Richardson 外推）判断是否满足 $ \epsilon $。若不满足，继续倍增 $ n $ 直至收敛。

  1. 实际应用示例

    • 以 \(I = \int_0^1 e^{-x^2} dx\) 为例，要求误差 \(\epsilon \leq 10^{-6}\)。
      • 计算 \(f^{(4)}(x) = e^{-x^2}(16x^4 - 48x^2 + 12)\)，在 \([0,1]\) 上取最大值 \(M_4 \approx 12\)（在 \(x=0\) 处）。
      • 代入公式：\(h \leq \left( \frac{180 \times 10^{-6}}{1 \times 12} \right)^{1/4} \approx 0.062\)，故 \(n \geq 1/0.062 \approx 16.1\)，取偶数 \(n=16\)。
      • 计算 \(S_{16}(f)\) 可得积分值约 0.746824，与实际值误差约 \(10^{-7}\)，满足要求。

  2. 关键注意事项

    • 四阶导数必须连续，否则误差公式不适用。
    • 步长 \(h\) 过小会增加舍入误差，需平衡截断误差与舍入误差。
    • 自适应方法更稳健，适用于导数界未知或函数行为复杂的情况。

通过以上步骤，可系统分析复化辛普森公式的误差，并合理选择步长以高效达到精度目标。

复化辛普森公式的误差分析与步长选择 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 上四阶连续可导。使用复化辛普森公式进行数值积分时，如何分析其截断误差，并据此选择最优的步长 \( h \)（即子区间数量 \( n \)），使得在给定精度要求下计算量最小？ 解题过程 复化辛普森公式回顾 将区间 \([ a, b]\) 等分为 \( n \)（偶数）个子区间，步长 \( h = (b - a)/n \)，节点 \( x_ k = a + kh \)（\( k = 0, 1, \dots, n \)）。 复化辛普森公式为： \[ S_ n(f) = \frac{h}{3} \left[ f(x_ 0) + f(x_ n) + 4 \sum_ {k=1}^{n/2} f(x_ {2k-1}) + 2 \sum_ {k=1}^{n/2-1} f(x_ {2k}) \right ]。 \] 每个子区间 \([ x_ {2k-2}, x_ {2k} ]\) 应用辛普森公式，整体公式是这些子区间结果的叠加。 误差分析：截断误差来源 单段辛普森公式的截断误差（余项）为： \[ E_ {\text{single}} = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in [ a, b ]。 \] 该误差基于四阶导函数在区间内的性质。 复化后，总误差是各子区间误差的累加。由于 \( f^{(4)}(x) \) 连续，由积分中值定理，存在 \( \eta \in [ a, b ] \) 使得总误差为： \[ E_ n = -\frac{(b-a)}{180} h^4 f^{(4)}(\eta)。 \] 推导要点： 每个子区间 \([ x_ {2k-2}, x_ {2k}]\) 长度为 \( 2h \)，其辛普森公式误差为 \( -\frac{(2h)^5}{2880} f^{(4)}(\xi_ k) = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi_ k) \)。 总误差 \( E_ n = \sum_ {k=1}^{n/2} -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi_ k) = -\frac{h^4(b-a)}{180} \cdot \frac{1}{n/2} \sum_ {k=1}^{n/2} f^{(4)}(\xi_ k) \)。 由于 \( f^{(4)}(x) \) 连续，均值 \( \frac{1}{n/2} \sum_ {k=1}^{n/2} f^{(4)}(\xi_ k) = f^{(4)}(\eta) \)，从而得到上述公式。 步长选择策略 误差公式 \( |E_ n| \approx \frac{(b-a)}{180} h^4 |f^{(4)}(\eta)| \) 表明误差以 \( O(h^4) \) 衰减。 给定精度要求 \( \epsilon \)（允许的最大绝对误差），需满足 \( |E_ n| \leq \epsilon \)。 步长选择步骤： 粗略估计 ：若 \( M_ 4 = \max_ {x \in [ a,b]} |f^{(4)}(x)| \) 已知，解不等式 \( \frac{(b-a)}{180} h^4 M_ 4 \leq \epsilon \) 得： \[ h \leq \left( \frac{180 \epsilon}{(b-a) M_ 4} \right)^{1/4}。 \] 子区间数 \( n = \frac{b-a}{h} \) 需取偶数并向上取整。 自适应调整 ：若 \( M_ 4 \) 未知，可先取较小 \( n \)（如 \( n=2 \)）计算 \( S_ n(f) \)，再倍增 \( n \) 计算 \( S_ {2n}(f) \)，利用误差估计式 \( |I - S_ {2n}| \approx \frac{|S_ {2n} - S_ n|}{15} \)（基于 Richardson 外推）判断是否满足 \( \epsilon \)。若不满足，继续倍增 \( n \) 直至收敛。 实际应用示例 以 \( I = \int_ 0^1 e^{-x^2} dx \) 为例，要求误差 \( \epsilon \leq 10^{-6} \)。 计算 \( f^{(4)}(x) = e^{-x^2}(16x^4 - 48x^2 + 12) \)，在 \([ 0,1]\) 上取最大值 \( M_ 4 \approx 12 \)（在 \( x=0 \) 处）。 代入公式：\( h \leq \left( \frac{180 \times 10^{-6}}{1 \times 12} \right)^{1/4} \approx 0.062 \)，故 \( n \geq 1/0.062 \approx 16.1 \)，取偶数 \( n=16 \)。 计算 \( S_ {16}(f) \) 可得积分值约 0.746824，与实际值误差约 \( 10^{-7} \)，满足要求。 关键注意事项 四阶导数必须连续，否则误差公式不适用。 步长 \( h \) 过小会增加舍入误差，需平衡截断误差与舍入误差。 自适应方法更稳健，适用于导数界未知或函数行为复杂的情况。 通过以上步骤，可系统分析复化辛普森公式的误差，并合理选择步长以高效达到精度目标。