高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧 题目描述 考虑计算定积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx, \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在积分区间端点 \( x = \pm 1 \) 处具有奇异性（例如，\( f(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \)，\( g(x) \) 光滑）。高斯-勒让德求积公式直接应用于此类积分时，由于节点在端点处密度较低，可能导致误差较大。本题要求通过变量替换技巧消除端点奇异性，并利用高斯-勒让德公式实现高精度计算。 解题过程 步骤1: 分析奇异性特征 若 \( f(x) \) 在端点处发散（如包含 \( (1-x^2)^{-\alpha} \) 因子），直接数值求积会因端点附近函数值剧烈变化而失效。高斯-勒让德公式的节点为勒让德多项式的零点，在区间内部分布密集，但端点处无节点，无法捕捉端点附近的行为。 步骤2: 设计变量替换 目标是通过变量替换 \( x = \phi(t) \) 将原积分转化为 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt, \] 使得新被积函数 \( F(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) \) 在 \( t = \pm 1 \) 处光滑。常用替换为： 对于端点平方根奇异性（如 \( f(x) = g(x)/\sqrt{1-x^2} \)），令 \[ x = \cos t, \quad t \in [ 0, \pi ], \] 则 \( dx = -\sin t \, dt \)，积分变为 \[ I = \int_ {0}^{\pi} g(\cos t) \, dt. \] 新积分区间为 \([ 0, \pi]\)，被积函数光滑，可进一步通过平移缩放变换至 \([ -1, 1 ]\)。 步骤3: 调整积分区间 将区间 \([ 0, \pi]\) 线性映射至 \([ -1, 1 ]\)：令 \[ t = \frac{\pi}{2}(u + 1), \quad u \in [ -1, 1 ], \] 则 \[ I = \frac{\pi}{2} \int_ {-1}^{1} g\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(u+1)\right)\right) du. \] 此时被积函数在 \( u = \pm 1 \) 处光滑，可直接应用高斯-勒让德公式。 步骤4: 应用高斯-勒让德公式 选择 \( n \) 阶高斯-勒让德公式的节点 \( u_ k \) 和权重 \( w_ k \)（通过勒让德多项式零点计算），近似计算： \[ I \approx \frac{\pi}{2} \sum_ {k=1}^{n} w_ k \, g\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(u_ k + 1)\right)\right). \] 由于变量替换后奇异性被消除，公式能快速收敛。 步骤5: 误差分析 高斯-勒让德公式的误差项依赖于被积函数的光滑性。替换后若 \( g(\cos t) \) 光滑，则误差以 \( O(n^{-m}) \) 速率衰减（\( m \) 与光滑度相关）。若未消除奇异性，误差可能仅以代数速率收敛（如 \( O(n^{-1/2}) \)）。 步骤6: 示例验证 设 \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)，则精确积分 \( I = \pi \)。替换后 \( g(x) \equiv 1 \)，积分化为 \[ I = \int_ {0}^{\pi} 1 \, dt = \pi. \] 数值计算中，即使取较小 \( n \)（如 \( n=5 \)），结果已接近精确值，证明替换的有效性。 总结 通过变量替换将端点奇异性转化为光滑函数，再利用高斯-勒让德公式的高精度特性，可显著提升奇异积分的计算效率。此方法适用于多种端点奇异性类型（如对数、幂律发散），需根据奇异性形式灵活选择替换函数。