列生成算法在电信网络流量分配问题中的应用示例
字数 2283 2025-11-11 04:41:18

列生成算法在电信网络流量分配问题中的应用示例

题目描述
假设某电信网络需要将流量从多个源节点传输到目的节点，每条链路有容量限制。目标是找到一种流量分配方案，使得总传输成本最小（成本与链路流量相关）。该问题可建模为线性规划模型，但链路数量庞大时，变量规模会爆炸式增长。此时，列生成算法通过动态生成有价值的路径变量来高效求解。

解题过程

1. 问题建模

  • 定义网络为有向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是节点集合，\(E\) 是链路集合。
  • 每条链路 \(e \in E\) 有容量 \(c_e\) 和单位流量成本 \(\xi_e\)。
  • 设流量需求集合 \(D\)，每个需求 \(d \in D\) 有源节点 \(s_d\)、目的节点 \(t_d\)、流量值 \(r_d\)。
  • 决策变量：为每个需求 \(d\) 定义路径集合 \(P_d\)，变量 \(x_{dp}\) 表示需求 \(d\) 在路径 \(p \in P_d\) 上的流量。

模型形式化：

\[\text{Minimize} \quad \sum_{d \in D} \sum_{p \in P_d} \left( \sum_{e \in p} \xi_e \right) x_{dp} \]

\[\text{subject to} \quad \sum_{d \in D} \sum_{p \in P_d: e \in p} x_{dp} \leq c_e, \quad \forall e \in E \quad \text{(容量约束)} \]

\[\sum_{p \in P_d} x_{dp} = r_d, \quad \forall d \in D \quad \text{(需求满足约束)} \]

\[x_{dp} \geq 0, \quad \forall d \in D, p \in P_d \]

难点：路径集合 \(P_d\) 可能指数级增长，无法显式枚举所有变量。

2. 列生成的核心思想

  • 主问题（Master Problem, MP）：仅使用路径子集 \(P_d' \subset P_d\) 的简化模型。
  • 子问题（Pricing Problem）：为每个需求 \(d\) 生成成本更低的路径（即检验是否存在减少目标函数的列）。

3. 限制主问题（RMP）
初始时，为每个需求 \(d\) 选择一组简单路径（如最短路径）构建 \(P_d'\)，求解 RMP：

\[\text{RMP:} \quad \min \sum_{d \in D} \sum_{p \in P_d'} \zeta_p x_{dp} \quad \text{s.t. 容量约束与需求约束} \]

其中 \(\zeta_p = \sum_{e \in p} \xi_e\) 是路径 \(p\) 的成本。

4. 子问题构造

  • 求解 RMP 后，得到对偶变量：
    • \(\pi_e \leq 0\) 对应容量约束（不等式约束取非正对偶变量）。
    • \(\lambda_d\) 无符号限制对应需求约束（等式约束）。
  • 子问题为每个需求 \(d\) 计算最小化约化成本的路径：

\[\min_{p \in P_d} \left( \zeta_p - \lambda_d - \sum_{e \in p} \pi_e \right) \]

等价于在图上为需求 \(d\) 找一条从 \(s_d\) 到 \(t_d\) 的路径，其边权为 \(\xi_e - \pi_e\)。

5. 子问题求解

  • 对每个 \(d\)，使用最短路径算法（如 Dijkstra）计算边权为 \(\tilde{\xi}_e = \xi_e - \pi_e\) 的最短路径 \(p^*\)。
  • 若 \(\tilde{\xi}_{p^*} - \lambda_d < 0\)（约化成本为负），则将 \(p^*\) 加入 \(P_d'\)；否则停止（当前解最优）。

6. 迭代过程
重复以下步骤直至无负约化成本的路径：

  1. 求解 RMP（得到对偶变量）。
  2. 对每个需求 \(d\) 求解子问题，生成负约化成本的路径。
  3. 将新路径加入 RMP，重新求解。

7. 实例演示
假设网络有 4 个节点、5 条链路，需求为 \(d_1: (s_1, t_1, r_1=10)\)。

  • 初始 RMP：为 \(d_1\) 加入最短路径 \(p_1 = \{(s_1,t_1)\}\)（成本 5）。
  • 第一次迭代后，对偶变量 \(\pi_e = -0.5\)（某链路），\(\lambda_{d_1} = 5\)。
  • 子问题中边权 \(\tilde{\xi}_e = \xi_e - (-0.5)\)，找到新路径 \(p_2\) 成本 4.5，约化成本 \(4.5 - 5 = -0.5 < 0\)，加入 RMP。
  • 重新求解 RMP，目标值下降，继续迭代直至无负约化成本。

8. 终止与解读
当所有需求的子问题均返回非负约化成本时，当前 RMP 的解即原问题最优解。该方法避免了枚举所有路径，仅通过动态生成有效路径逼近全局最优。

列生成算法在电信网络流量分配问题中的应用示例 题目描述 假设某电信网络需要将流量从多个源节点传输到目的节点，每条链路有容量限制。目标是找到一种流量分配方案，使得总传输成本最小（成本与链路流量相关）。该问题可建模为线性规划模型，但链路数量庞大时，变量规模会爆炸式增长。此时，列生成算法通过动态生成有价值的路径变量来高效求解。 解题过程 1. 问题建模 定义网络为有向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是节点集合，\( E \) 是链路集合。 每条链路 \( e \in E \) 有容量 \( c_ e \) 和单位流量成本 \( \xi_ e \)。 设流量需求集合 \( D \)，每个需求 \( d \in D \) 有源节点 \( s_ d \)、目的节点 \( t_ d \)、流量值 \( r_ d \)。 决策变量：为每个需求 \( d \) 定义路径集合 \( P_ d \)，变量 \( x_ {dp} \) 表示需求 \( d \) 在路径 \( p \in P_ d \) 上的流量。 模型形式化 ： \[ \text{Minimize} \quad \sum_ {d \in D} \sum_ {p \in P_ d} \left( \sum_ {e \in p} \xi_ e \right) x_ {dp} \] \[ \text{subject to} \quad \sum_ {d \in D} \sum_ {p \in P_ d: e \in p} x_ {dp} \leq c_ e, \quad \forall e \in E \quad \text{(容量约束)} \] \[ \sum_ {p \in P_ d} x_ {dp} = r_ d, \quad \forall d \in D \quad \text{(需求满足约束)} \] \[ x_ {dp} \geq 0, \quad \forall d \in D, p \in P_ d \] 难点 ：路径集合 \( P_ d \) 可能指数级增长，无法显式枚举所有变量。 2. 列生成的核心思想 主问题（Master Problem, MP）：仅使用路径子集 \( P_ d' \subset P_ d \) 的简化模型。 子问题（Pricing Problem）：为每个需求 \( d \) 生成成本更低的路径（即检验是否存在减少目标函数的列）。 3. 限制主问题（RMP） 初始时，为每个需求 \( d \) 选择一组简单路径（如最短路径）构建 \( P_ d' \)，求解 RMP： \[ \text{RMP:} \quad \min \sum_ {d \in D} \sum_ {p \in P_ d'} \zeta_ p x_ {dp} \quad \text{s.t. 容量约束与需求约束} \] 其中 \( \zeta_ p = \sum_ {e \in p} \xi_ e \) 是路径 \( p \) 的成本。 4. 子问题构造 求解 RMP 后，得到对偶变量： \( \pi_ e \leq 0 \) 对应容量约束（不等式约束取非正对偶变量）。 \( \lambda_ d \) 无符号限制对应需求约束（等式约束）。 子问题为每个需求 \( d \) 计算最小化 约化成本 的路径： \[ \min_ {p \in P_ d} \left( \zeta_ p - \lambda_ d - \sum_ {e \in p} \pi_ e \right) \] 等价于在图上为需求 \( d \) 找一条从 \( s_ d \) 到 \( t_ d \) 的路径，其边权为 \( \xi_ e - \pi_ e \)。 5. 子问题求解 对每个 \( d \)，使用最短路径算法（如 Dijkstra）计算边权为 \( \tilde{\xi}_ e = \xi_ e - \pi_ e \) 的最短路径 \( p^* \)。 若 \( \tilde{\xi}_ {p^ } - \lambda_ d < 0 \)（约化成本为负），则将 \( p^ \) 加入 \( P_ d' \)；否则停止（当前解最优）。 6. 迭代过程 重复以下步骤直至无负约化成本的路径： 求解 RMP（得到对偶变量）。 对每个需求 \( d \) 求解子问题，生成负约化成本的路径。 将新路径加入 RMP，重新求解。 7. 实例演示 假设网络有 4 个节点、5 条链路，需求为 \( d_ 1: (s_ 1, t_ 1, r_ 1=10) \)。 初始 RMP：为 \( d_ 1 \) 加入最短路径 \( p_ 1 = \{(s_ 1,t_ 1)\} \)（成本 5）。 第一次迭代后，对偶变量 \( \pi_ e = -0.5 \)（某链路），\( \lambda_ {d_ 1} = 5 \)。 子问题中边权 \( \tilde{\xi}_ e = \xi_ e - (-0.5) \)，找到新路径 \( p_ 2 \) 成本 4.5，约化成本 \( 4.5 - 5 = -0.5 < 0 \)，加入 RMP。 重新求解 RMP，目标值下降，继续迭代直至无负约化成本。 8. 终止与解读 当所有需求的子问题均返回非负约化成本时，当前 RMP 的解即原问题最优解。该方法避免了枚举所有路径，仅通过动态生成有效路径逼近全局最优。