QR分解在矩阵特征值计算中的基本思想 题目描述 QR分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为正交矩阵（Q）和上三角矩阵（R）的乘积。在特征值计算中，QR算法通过迭代地对矩阵进行QR分解和重构，逐步将矩阵转化为近似上三角形式（Schur形式），从而提取特征值。本题要求解释QR分解如何用于计算一般方阵的特征值，并详细分析其收敛性。 解题过程 1. QR分解的基本步骤 对给定的矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，通过Householder变换或Givens旋转将其分解为： \[ A = QR \] 其中 \( Q \) 是正交矩阵（\( Q^T Q = I \)），\( R \) 是上三角矩阵。 Householder变换示例 ： 对于向量 \( x \)，定义Householder矩阵 \( H = I - 2vv^T / \|v\|^2 \)，其中 \( v \) 为构造的反射向量。逐列对 \( A \) 进行变换，使得次对角线以下的元素变为零。 2. QR算法的迭代格式 基本QR迭代 ： 初始化 \( A_ 0 = A \)。 对第 \( k \) 步迭代： 对 \( A_ k \) 进行QR分解：\( A_ k = Q_ k R_ k \)。 计算新矩阵 \( A_ {k+1} = R_ k Q_ k \)。 重复直到 \( A_ k \) 收敛到上三角矩阵（实矩阵可能收敛到拟上三角矩阵，含2×2对角块表示复特征值）。 为什么迭代有效？ 因为 \( A_ {k+1} = Q_ k^T A_ k Q_ k \)，每一步迭代均为正交相似变换，特征值保持不变。 当 \( A \) 的特征值满足 \( |\lambda_ 1| > |\lambda_ 2| > \cdots > |\lambda_ n| \) 时，对角线元素收敛到特征值。 3. 收敛性分析 若矩阵 \( A \) 可对角化且特征值互异，QR算法收敛到上三角矩阵。 对于重特征值或接近的特征值，收敛速度可能变慢，需结合位移策略（如Rayleigh位移）加速。 位移QR算法 ： 在迭代中引入位移 \( \mu_ k \)： \[ A_ k - \mu_ k I = Q_ k R_ k, \quad A_ {k+1} = R_ k Q_ k + \mu_ k I \] 位移通常取 \( A_ k \) 的右下角元素（对实矩阵）或通过双步位移处理复特征值。 4. 实际计算中的优化 先通过Hessenberg化将 \( A \) 转化为上Hessenberg形式（次对角线以下全为零），减少QR分解的计算量。 对于对称矩阵，Hessenberg形式变为三对角矩阵，进一步简化计算。 5. 示例说明 考虑矩阵 \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \] 特征值为 \( \lambda = 3, 1 \)。 第一步QR分解： \[ Q_ 0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad R_ 0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \] 更新 \( A_ 1 = R_ 0 Q_ 0 = \begin{bmatrix} 2.8 & -0.6 \\ -0.6 & 1.2 \end{bmatrix} \)，对角线元素已接近特征值。 继续迭代后，\( A_ k \) 收敛到 \( \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)。 总结 QR算法通过正交相似变换保留特征值，逐步将矩阵对角化。其效率依赖于预处理（如Hessenberg化）和加速技巧（如位移），是计算中小规模矩阵特征值的标准方法。