非线性规划中的Dijkstra风格梯度投影法基础题
字数 2390 2025-11-11 02:43:23

非线性规划中的Dijkstra风格梯度投影法基础题

题目描述
考虑一个带约束的非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 4)^2\)
约束条件：
\(g_1(x) = x_1 + x_2 - 5 \leq 0\)
\(g_2(x) = -x_1 \leq 0\)
\(g_3(x) = -x_2 \leq 0\)
初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)。
要求使用Dijkstra风格梯度投影法求解，该方法在梯度投影法中引入类似Dijkstra算法的"最短路径"思想，通过优先级队列管理活跃约束，确保每次迭代优先处理对目标函数下降最关键的约束。

解题过程

  1. 问题分析

    • 目标函数 \(f(x)\) 是凸二次函数，最小值在无约束时为 \((3,4)\)，但被约束 \(x_1 + x_2 \leq 5\) 切割。
    • 初始点 \((0,0)\) 在约束 \(g_2, g_3\) 的边界上（\(x_1=0, x_2=0\)），且 \(g_1\) 未激活（因 \(0+0-5=-5<0\)）。

  2. Dijkstra风格梯度投影法原理

    • 核心思想：将梯度投影法与Dijkstra算法的优先级队列结合。每次迭代时，计算当前点的负梯度方向（最速下降方向），但需投影到活跃约束边界的交集上。
    • 优先级定义：为每个约束分配一个"距离代价"，衡量沿投影方向移动时违反约束的程度，优先处理代价最小的约束。
    • 队列管理：维护一个优先级队列，存储当前点可能触发的约束，按代价排序。

  3. 迭代步骤详解
    迭代1（从 \(x^{(0)} = (0,0)\) 开始）：

    • 计算梯度：\(\nabla f(x) = (2(x_1-3), 2(x_2-4))\)，在 \((0,0)\) 处为 \((-6, -8)\)。
    • 初始活跃约束集 \(A = \{g_2, g_3\}\)（因 \(x_1=0, x_2=0\)）。
    • 投影方向：将负梯度 \((6,8)\) 投影到 \(g_2\) 和 \(g_3\) 边界的交集（即第一象限的轴）。投影后方向为 \((6,8)\)（因本身已在第一象限）。
    • 优先级计算：
      • 沿方向移动的步长 \(\alpha\) 需满足不违反其他约束。计算到 \(g_1\) 边界的距离：解 \((0+6\alpha) + (0+8\alpha) = 5\) 得 \(\alpha_1 = 5/14 \approx 0.357\)。
      • 优先级队列：将 \(g_1\) 按 \(\alpha_1\) 加入队列，当前最小代价为 \(\alpha_1\)。
    • 更新点：取步长 \(\alpha = \alpha_1\)，新点 \(x^{(1)} = (0+6\cdot 0.357, 0+8\cdot 0.357) = (2.142, 2.856)\)。此时 \(g_1\) 被激活（\(x_1+x_2=5\)）。

    迭代2（在 \(x^{(1)} = (2.142, 2.856)\)）：

    • 梯度：\(\nabla f = (2(2.142-3), 2(2.856-4)) = (-1.716, -2.288)\)。
    • 活跃约束集 \(A = \{g_1, g_2, g_3\}\)，但 \(g_2, g_3\) 未激活（因 \(x_1, x_2 > 0\)），实际有效约束为 \(g_1\)。
    • 投影方向：将负梯度 \((1.716, 2.288)\) 投影到 \(g_1\) 的切线空间（即满足 \(\nabla g_1 \cdot d = 0\)，其中 \(\nabla g_1 = (1,1)\)）。解得投影方向 \(d = (1.716, 2.288) - \frac{(1.716+2.288)}{2}(1,1) = (-0.286, 0.286)\)。
    • 优先级检查：沿 \(d\) 移动时，\(g_2, g_3\) 可能被违反。计算到边界的步长：
      • 到 \(g_2\)（\(x_1=0\)）：\(\alpha_2 = 2.142 / 0.286 \approx 7.49\)（正数，安全）。
      • 到 \(g_3\)（\(x_2=0\)）：\(\alpha_3 = 2.856 / 0.286 \approx 9.99\)（安全）。
    • 最优步长：沿 \(d\) 最小化 \(f\)，解得 \(\alpha^* = 1\)，新点 \(x^{(2)} = (2.142 -0.286, 2.856 +0.286) = (1.856, 3.142)\)。
    • 更新队列：无新约束激活。

    迭代3（在 \(x^{(2)} = (1.856, 3.142)\)）：

    • 梯度：\(\nabla f = (-2.288, -1.716)\)，投影到 \(g_1\) 切线方向 \(d = (0.286, -0.286)\)。
    • 移动后点 \(x^{(3)} = (2.142, 2.856)\)（与 \(x^{(1)}\) 对称）。此时梯度投影为零，满足一阶最优条件（KKT条件）。

  4. 结论

    • 最优解 \(x^* = (2.142, 2.856)\)（或对称点），目标函数值 \(f^* \approx 2.143\)。
    • Dijkstra风格通过优先级队列避免冗余计算，确保每次迭代优先处理关键约束，提升效率。
非线性规划中的Dijkstra风格梯度投影法基础题 题目描述 考虑一个带约束的非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 3)^2 + (x_ 2 - 4)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 - 5 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = -x_ 1 \leq 0 \) \( g_ 3(x) = -x_ 2 \leq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。 要求使用Dijkstra风格梯度投影法求解，该方法在梯度投影法中引入类似Dijkstra算法的"最短路径"思想，通过优先级队列管理活跃约束，确保每次迭代优先处理对目标函数下降最关键的约束。 解题过程 问题分析 目标函数 \( f(x) \) 是凸二次函数，最小值在无约束时为 \( (3,4) \)，但被约束 \( x_ 1 + x_ 2 \leq 5 \) 切割。 初始点 \( (0,0) \) 在约束 \( g_ 2, g_ 3 \) 的边界上（\( x_ 1=0, x_ 2=0 \)），且 \( g_ 1 \) 未激活（因 \( 0+0-5=-5 <0 \)）。 Dijkstra风格梯度投影法原理 核心思想 ：将梯度投影法与Dijkstra算法的优先级队列结合。每次迭代时，计算当前点的负梯度方向（最速下降方向），但需投影到活跃约束边界的交集上。 优先级定义 ：为每个约束分配一个"距离代价"，衡量沿投影方向移动时违反约束的程度，优先处理代价最小的约束。 队列管理 ：维护一个优先级队列，存储当前点可能触发的约束，按代价排序。 迭代步骤详解 迭代1 （从 \( x^{(0)} = (0,0) \) 开始）： 计算梯度：\( \nabla f(x) = (2(x_ 1-3), 2(x_ 2-4)) \)，在 \( (0,0) \) 处为 \( (-6, -8) \)。 初始活跃约束集 \( A = \{g_ 2, g_ 3\} \)（因 \( x_ 1=0, x_ 2=0 \)）。 投影方向：将负梯度 \( (6,8) \) 投影到 \( g_ 2 \) 和 \( g_ 3 \) 边界的交集（即第一象限的轴）。投影后方向为 \( (6,8) \)（因本身已在第一象限）。 优先级计算 ： 沿方向移动的步长 \( \alpha \) 需满足不违反其他约束。计算到 \( g_ 1 \) 边界的距离：解 \( (0+6\alpha) + (0+8\alpha) = 5 \) 得 \( \alpha_ 1 = 5/14 \approx 0.357 \)。 优先级队列：将 \( g_ 1 \) 按 \( \alpha_ 1 \) 加入队列，当前最小代价为 \( \alpha_ 1 \)。 更新点：取步长 \( \alpha = \alpha_ 1 \)，新点 \( x^{(1)} = (0+6\cdot 0.357, 0+8\cdot 0.357) = (2.142, 2.856) \)。此时 \( g_ 1 \) 被激活（\( x_ 1+x_ 2=5 \)）。 迭代2 （在 \( x^{(1)} = (2.142, 2.856) \)）： 梯度：\( \nabla f = (2(2.142-3), 2(2.856-4)) = (-1.716, -2.288) \)。 活跃约束集 \( A = \{g_ 1, g_ 2, g_ 3\} \)，但 \( g_ 2, g_ 3 \) 未激活（因 \( x_ 1, x_ 2 > 0 \)），实际有效约束为 \( g_ 1 \)。 投影方向：将负梯度 \( (1.716, 2.288) \) 投影到 \( g_ 1 \) 的切线空间（即满足 \( \nabla g_ 1 \cdot d = 0 \)，其中 \( \nabla g_ 1 = (1,1) \)）。解得投影方向 \( d = (1.716, 2.288) - \frac{(1.716+2.288)}{2}(1,1) = (-0.286, 0.286) \)。 优先级检查 ：沿 \( d \) 移动时，\( g_ 2, g_ 3 \) 可能被违反。计算到边界的步长： 到 \( g_ 2 \)（\( x_ 1=0 \)）：\( \alpha_ 2 = 2.142 / 0.286 \approx 7.49 \)（正数，安全）。 到 \( g_ 3 \)（\( x_ 2=0 \)）：\( \alpha_ 3 = 2.856 / 0.286 \approx 9.99 \)（安全）。 最优步长：沿 \( d \) 最小化 \( f \)，解得 \( \alpha^* = 1 \)，新点 \( x^{(2)} = (2.142 -0.286, 2.856 +0.286) = (1.856, 3.142) \)。 更新队列：无新约束激活。 迭代3 （在 \( x^{(2)} = (1.856, 3.142) \)）： 梯度：\( \nabla f = (-2.288, -1.716) \)，投影到 \( g_ 1 \) 切线方向 \( d = (0.286, -0.286) \)。 移动后点 \( x^{(3)} = (2.142, 2.856) \)（与 \( x^{(1)} \) 对称）。此时梯度投影为零，满足一阶最优条件（KKT条件）。 结论 最优解 \( x^* = (2.142, 2.856) \)（或对称点），目标函数值 \( f^* \approx 2.143 \)。 Dijkstra风格通过优先级队列避免冗余计算，确保每次迭代优先处理关键约束，提升效率。