非线性规划中的隐式梯度法进阶题
题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x)\)
满足约束 \(h_i(x) = 0, i = 1, \dots, m\)，
其中 \(f\) 和 \(h_i\) 是连续可微函数，但梯度 \(\nabla f\) 和 \(\nabla h_i\) 无法显式计算（例如，函数值通过黑箱模拟获得）。隐式梯度法通过数值扰动或伴随方法间接估计梯度，以解决无法直接求导的优化问题。本题要求用隐式梯度法结合拉格朗日函数，在约束条件下逐步逼近最优解。
解题过程
- 问题重构与拉格朗日函数
定义拉格朗日函数：
\[ L(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i h_i(x), \]
其中 \(\lambda_i\) 是拉格朗日乘子。目标是通过迭代更新 \(x\) 和 \(\lambda\)，使 \(L(x, \lambda)\) 趋近极小值，同时满足约束。
- 隐式梯度估计
由于梯度无法显式计算，采用有限差分法近似梯度：- 对 \(x\) 的第 \(j\) 个分量施加微小扰动 \(\delta\)（如 \(\delta = 10^{-6}\)），计算函数值变化：
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j} \approx \frac{f(x + \delta e_j) - f(x)}{\delta}, \]
其中 $ e_j $ 是第 $ j $ 个单位向量。
- 同样方法估计 \(\nabla h_i(x)\)。
注意：扰动需足够小以减小截断误差，但避免舍入误差放大。
- 迭代更新规则
- 变量更新：使用梯度下降思想，沿拉格朗日函数负梯度方向更新 \(x\)：
\[ x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha_k \nabla_x L(x^{(k)}, \lambda^{(k)}), \]
其中步长 $ \alpha_k $ 通过线搜索（如Armijo条件）确定。
- 乘子更新：根据约束违反程度调整 \(\lambda\)：
\[ \lambda_i^{(k+1)} = \lambda_i^{(k)} + \beta_k h_i(x^{(k)}), \]
其中 $ \beta_k > 0 $ 是乘子步长，通常随迭代减小。
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收敛判断
检查以下条件：- 梯度范数： \(\|\nabla_x L(x^{(k)}, \lambda^{(k)})\| < \epsilon_1\)（如 \(\epsilon_1 = 10^{-6}\)）；
- 约束违反度： \(\max_i |h_i(x^{(k)})| < \epsilon_2\)。
若同时满足，则停止迭代；否则返回步骤2。
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实例演示
假设问题：
\[ \min f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2, \quad \text{s.t.} \quad h(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0. \]
- 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0), \lambda^{(0)} = 0\)。
- 隐式梯度估计：
\[ \nabla f \approx \left( \frac{f(0+\delta, 0) - f(0,0)}{\delta}, \frac{f(0, 0+\delta) - f(0,0)}{\delta} \right) = (2\delta - 4, 2\delta - 2) \approx (-4, -2), \]
\[ \nabla h = (1, 1). \]
- 拉格朗日梯度： \(\nabla_x L = (-4 + \lambda, -2 + \lambda)\)。
- 更新 \(x\) 和 \(\lambda\) 直至收敛，最终解接近理论最优解 \(x^* = (1.5, 0.5)\)。
关键点
- 隐式梯度法通过数值近似处理不可显式求导的问题，但需平衡估计精度与计算成本。
- 结合拉格朗日乘子法处理约束，确保迭代点逐渐可行。
- 步长选择影响收敛速度，需配合线搜索或自适应策略。