列生成算法在共享单车调度优化问题中的应用示例

字数 1308 2025-11-10 21:34:13

列生成算法在共享单车调度优化问题中的应用示例

题目描述
共享单车调度优化问题旨在通过合理调度车辆（如将车辆从过剩区域调往短缺区域），最小化总调度成本或最大化运营效益。该问题可建模为一个大规模整数规划，其中每个决策变量代表一条可能的调度路径（如一辆调度卡车在多个站点间搬运单车的路线）。由于可行路径数量随站点数指数增长，直接枚举所有变量求解不可行。列生成算法通过动态生成有潜力的路径（变量）来高效求解其线性松弛。

问题建模

参数定义：
- 站点集合 \(S\)，每个站点 \(i\) 有单车需求缺口 \(d_i\)（正）或盈余 \(s_i\)（负）。
- 调度卡车容量为 \(C\)，单位距离成本为 \(c\)。
- 路径 \(p\) 的成本为 \(c_p\)（与距离成正比），路径需满足容量约束。
变量与约束：
- 变量 \(\lambda_p\) 表示路径 \(p\) 的使用次数（连续松弛）。
- 目标函数：最小化总成本 \(\min \sum_p c_p \lambda_p\)。
- 约束：每个站点 \(i\) 的净调度量需满足需求（平衡约束）：

\[ \sum_p a_{ip} \lambda_p = d_i \quad \forall i \in S \]

 其中 $ a_{ip} $ 表示路径 $ p $ 在站点 $ i $ 的净调入单车数（调入为正，调出为负）。

挑战：路径数量巨大，直接求解线性规划不可行。

列生成算法步骤

限制主问题（RMP）：
- 初始时仅包含少量可行路径（如仅覆盖部分站点的简单路径）。
- 求解 RMP 的线性规划，得到最优解和对偶变量 \(\pi_i\)（对应每个站点的约束）。
定价子问题：
- 目标：生成一条新路径 \(p\)，其检验数（reduced cost）为负，即

\[ \bar{c}_p = c_p - \sum_{i \in S} \pi_i a_{ip} < 0 \]

子问题可建模为一个资源约束最短路径问题（RCSP）：
- 节点为站点，边表示卡车移动，边成本为 \(c_{ij} - \pi_i \cdot q\)（其中 \(q\) 为运输单车数，需满足容量约束）。
- 使用动态规划（如标签算法）求解最小成本路径。

迭代过程：
- 若子问题找到负检验数路径，将其加入 RMP，重新求解。
- 若无非负检验数路径，当前 RMP 的解即原问题线性松弛的最优解。
整数解处理：
- 若需整数解，将列生成与分支定界结合（即分支定价），对路径变量 \(\lambda_p\) 进行分支。

关键点说明

对偶变量的经济解释：\(\pi_i\) 可视为站点 \(i\) 的“单车影子价格”，路径成本需低于其覆盖站点的总影子价格才可能被加入。
子问题效率：RCSP 的求解是算法核心，需设计高效算法处理容量约束。
实际优化：可限制路径长度（如时间窗口）以降低子问题复杂度。

通过逐步生成关键路径，列生成算法避免了枚举所有可能性，显著提升了大规模调度问题的求解效率。

列生成算法在共享单车调度优化问题中的应用示例题目描述共享单车调度优化问题旨在通过合理调度车辆（如将车辆从过剩区域调往短缺区域），最小化总调度成本或最大化运营效益。该问题可建模为一个大规模整数规划，其中每个决策变量代表一条可能的调度路径（如一辆调度卡车在多个站点间搬运单车的路线）。由于可行路径数量随站点数指数增长，直接枚举所有变量求解不可行。列生成算法通过动态生成有潜力的路径（变量）来高效求解其线性松弛。问题建模参数定义：站点集合 \( S \)，每个站点 \( i \) 有单车需求缺口 \( d_ i \)（正）或盈余 \( s_ i \)（负）。调度卡车容量为 \( C \)，单位距离成本为 \( c \)。路径 \( p \) 的成本为 \( c_ p \)（与距离成正比），路径需满足容量约束。变量与约束：变量 \( \lambda_ p \) 表示路径 \( p \) 的使用次数（连续松弛）。目标函数：最小化总成本 \( \min \sum_ p c_ p \lambda_ p \)。约束：每个站点 \( i \) 的净调度量需满足需求（平衡约束）： \[ \sum_ p a_ {ip} \lambda_ p = d_ i \quad \forall i \in S \] 其中 \( a_ {ip} \) 表示路径 \( p \) 在站点 \( i \) 的净调入单车数（调入为正，调出为负）。挑战：路径数量巨大，直接求解线性规划不可行。列生成算法步骤限制主问题（RMP）：初始时仅包含少量可行路径（如仅覆盖部分站点的简单路径）。求解 RMP 的线性规划，得到最优解和对偶变量 \( \pi_ i \)（对应每个站点的约束）。定价子问题：目标：生成一条新路径 \( p \)，其检验数（reduced cost）为负，即 \[ \bar{c} p = c_ p - \sum {i \in S} \pi_ i a_ {ip} < 0 \] 子问题可建模为一个资源约束最短路径问题（RCSP）：节点为站点，边表示卡车移动，边成本为 \( c_ {ij} - \pi_ i \cdot q \)（其中 \( q \) 为运输单车数，需满足容量约束）。使用动态规划（如标签算法）求解最小成本路径。迭代过程：若子问题找到负检验数路径，将其加入 RMP，重新求解。若无非负检验数路径，当前 RMP 的解即原问题线性松弛的最优解。整数解处理：若需整数解，将列生成与分支定界结合（即分支定价），对路径变量 \( \lambda_ p \) 进行分支。关键点说明对偶变量的经济解释：\( \pi_ i \) 可视为站点 \( i \) 的“单车影子价格”，路径成本需低于其覆盖站点的总影子价格才可能被加入。子问题效率：RCSP 的求解是算法核心，需设计高效算法处理容量约束。实际优化：可限制路径长度（如时间窗口）以降低子问题复杂度。通过逐步生成关键路径，列生成算法避免了枚举所有可能性，显著提升了大规模调度问题的求解效率。