其中 $x_i$ 和 $w_i$ 为拉盖尔多项式的节点和权重。  

自适应高斯-克朗罗德积分法在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算半无穷区间积分 \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \] 该被积函数具有指数衰减（权函数 \(e^{-x}\)）和快速振荡（\(\sin(10x)\)）特性。要求结合高斯-拉盖尔求积公式的权函数匹配思想，设计自适应高斯-克朗罗德积分法，在保证精度的同时减少计算量。 解题过程 问题分析 积分区间为 \( [ 0, \infty)\)，被积函数含指数衰减因子 \(e^{-x}\)，与拉盖尔多项式的权函数匹配。 振荡部分 \(\sin(10x)\) 的频率较高（10），直接数值积分需密集节点。 目标：利用权函数匹配简化积分形式，再通过自适应高斯-克朗罗德法控制误差。 权函数匹配变换 高斯-拉盖尔求积公式适用于形如 \(\int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx\) 的积分。此处 \(f(x) = \sin(10x)\)。 直接应用 \(n\) 点高斯-拉盖尔公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i \sin(10x_ i) \] 其中 \(x_ i\) 和 \(w_ i\) 为拉盖尔多项式的节点和权重。 优势 ：权函数 \(e^{-x}\) 被精确吸收，公式对多项式部分具有最高 \(2n-1\) 次代数精度。 振荡函数的挑战与自适应策略 高频振荡导致 \(f(x)\) 非多项式，需较多节点才能捕捉振荡细节。 采用自适应高斯-克朗罗德法： 在子区间上分别用低阶（如 \(n=7\)）高斯-克朗罗德公式计算积分 \(I_ 1\) 和高阶（如 \(n=15\)）公式计算 \(I_ 2\)。 若误差估计 \(|I_ 1 - I_ 2|\) 小于容差，接受结果；否则将区间二分递归处理。 关键改进 ：将自适应法应用于权函数匹配后的积分 \(\int e^{-x} f(x) dx\)，而非原积分。这避免显式处理无穷区间和衰减性。 算法步骤 步骤1 ：将积分写为高斯-拉盖尔标准形式 \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \] 无需变量替换，因权函数已匹配。 步骤2 ：在区间 \( [ 0, \infty)\) 上实施自适应高斯-克朗罗德法： 选择初始区间 \([ 0, b ]\)，其中 \(b\) 满足 \(e^{-b} \sin(10b)\) 可忽略（如 \(b=20\)）。 在 \([ a, b ]\) 上计算高斯-克朗罗德估计： 高斯-拉盖尔节点 \(x_ i\) 和权重 \(w_ i\) 通过正交多项式理论预计算。 低阶估计 \(I_ 1 = \sum_ {i=1}^{7} w_ i \sin(10x_ i)\)，高阶估计 \(I_ 2 = \sum_ {i=1}^{15} w_ i' \sin(10x_ i)\)。 误差估计 \(E = |I_ 1 - I_ 2|\)。若 \(E < \text{tol}\)，返回 \(I_ 2\)；否则将 \([ a, b ]\) 二分递归。 步骤3 ：处理截断误差 初始区间选择 \(b=20\)，因 \(e^{-20} \approx 2 \times 10^{-9}\)，截断误差可忽略。 误差控制与效率优化 振荡处理 ：高频振荡要求子区间宽度小于振荡周期（\(\pi/10 \approx 0.31\)）。自适应法自动在振荡区域加密节点。 权函数匹配优势 ：省去变量替换步骤，避免因变换引入的雅可比因子计算误差。 计算量对比 ：若直接使用自适应高斯-克朗罗德法计算原积分，需处理无穷区间截断和振荡衰减；权函数匹配后仅需处理振荡，效率提升。 示例结果 解析解：\(I = \frac{10}{1^2 + 10^2} = \frac{10}{101} \approx 0.0990099\)。 数值实验：取容差 \(10^{-6}\)，自适应法在区间 \([ 0, 20 ]\) 上约递归划分 5-6 层，结果误差量级 \(10^{-7}\)。 总结 本方法通过权函数匹配简化积分形式，结合自适应高斯-克朗罗德法的高精度和自动加密特性，有效处理振荡衰减函数积分。关键点在于直接利用高斯-拉盖尔公式的权函数消除衰减因子，使自适应法专注于振荡行为。