列生成算法在生产线平衡问题中的应用示例

字数 2065 2025-11-10 16:39:02

列生成算法在生产线平衡问题中的应用示例

题目描述
生产线平衡问题旨在将一组任务分配到工作站，使得每个工作站的处理时间不超过节拍时间（cycle time），并最小化工作站数量或平衡负载。假设有10个任务，其处理时间分别为[5, 3, 6, 8, 10, 7, 4, 5, 9, 6]分钟，任务间的先后顺序约束为：任务1必须在任务3之前，任务2在任务4之前，任务3在任务5之前，任务4在任务6之前，任务5在任务7之前，任务6在任务8之前。节拍时间设为15分钟。目标是最小化工作站数量。

解题过程

问题建模
- 定义任务集合 \(T = \{1, 2, \dots, 10\}\) 及处理时间 \(p_j\)（\(j \in T\)）。
- 顺序约束用有向无环图表示，如边 \((1,3)\) 表示任务1需在任务3前完成。
- 决策变量：定义工作站分配方案，但直接建模会导致组合爆炸。转而使用集合覆盖模型：
  - 变量 \(x_s\) 表示是否选择任务子集 \(s\)（一个可行的工作站分配），其总时间 \(\leq 15\) 且满足顺序约束。
  - 目标：最小化所选子集数量，约束：每个任务被恰好一个子集覆盖。
  - 模型：

\[ \min \sum_s x_s, \quad \text{s.t.} \sum_{s: j \in s} x_s = 1 \ (\forall j \in T) \]

 由于可行子集数量庞大，采用列生成法动态生成变量。

限制主问题（RMP）初始化
- 初始解：每个任务单独作为一个工作站，生成10个列（子集），例如 \(s_1 = \{1\}, s_2 = \{2\}, \dots\)。
- RMP形式：

\[ \min \sum_{s \in S} x_s, \quad \text{s.t.} \sum_{s \in S} a_{js} x_s = 1 \ (\forall j \in T), \ x_s \geq 0 \]

 其中 $ a_{js} = 1 $ 若任务 $ j $ 在子集 $ s $ 中。松弛 $ x_s $ 为连续变量以应用列生成。

列生成迭代
- 步骤1：求解RMP
  当前RMP有10个列，求解得对偶变量 \(\pi_j\)（每个任务约束的影子价格）。
- 步骤2：定价子问题
  目标：找到负检验数 \(\bar{c}_s = 1 - \sum_{j \in s} \pi_j\) 的列 \(s\)。子问题为带顺序约束的背包问题：

\[ \max \sum_{j \in T} \pi_j y_j, \quad \text{s.t.} \sum_j p_j y_j \leq 15, \ y_j \in \{0,1\} \]

 且若任务 $ k $ 是任务 $ j $ 的前驱，则 $ y_j = 1 $ 蕴含 $ y_k = 1 $。  
 - 使用动态规划求解：按拓扑序（如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）处理任务，状态为已选任务总时间。  
 - 例如，第一轮对偶值可能均匀（如 $ \pi_j \approx 0.1 $），子问题可能返回列 $ s = \{1,2,4\} $（总时间13，价值 $ \sum \pi_j = 0.3 > 0 $），检验数 $ \bar{c}_s = 1 - 0.3 = 0.7 > 0 $，无负检验数列。  
 - 调整：若子问题最优值 $ \leq 1 $，则无改进列；否则添加最优列。

步骤3：循环
重复求解RMP更新 \(\pi_j\)，直到子问题最优值 \(\leq 1\)。此时RMP松弛解最优。

整数解获取
- 将最终RMP的列集合作为输入，求解整数规划（如分支定界法）。
- 示例可能得到解：工作站1：任务1,2,4（时间16？需调整），但实际需满足节拍时间。重新搜索后得可行解：
  - 工作站1：任务1,2,3（时间14）
  - 工作站2：任务4,5,6（时间25？超限）→ 需拆分，最终得分配如：
    - 站1: 任务1,3,7 (时间16) → 无效，需回溯满足节拍。
      实际可行解：
      站1: 任务1,2 (8分)，站2: 任务3,4 (14分)，站3: 任务5,6 (17分) → 无效（超15分），需重新平衡。
      最终可能需5个站（如站1:1,2; 站2:3; 站3:4; 站4:5; 站5:6,7,8,9,10 按顺序分拆）。
复杂度与优化
- 子问题的动态规划复杂度为 \(O(n \cdot \text{节拍时间})\)，本例为 \(O(10 \times 15) = 150\)。
- 列生成大幅减少枚举量，仅生成少数关键列（如20个而非 \(2^{10}\) 个）。

总结
通过列生成将组合问题分解为主问题（分配工作站）和子问题（生成可行任务包），有效处理大规模实例。实际应用中需结合分支定价获得整数解。

列生成算法在生产线平衡问题中的应用示例题目描述生产线平衡问题旨在将一组任务分配到工作站，使得每个工作站的处理时间不超过节拍时间（cycle time），并最小化工作站数量或平衡负载。假设有10个任务，其处理时间分别为[ 5, 3, 6, 8, 10, 7, 4, 5, 9, 6 ]分钟，任务间的先后顺序约束为：任务1必须在任务3之前，任务2在任务4之前，任务3在任务5之前，任务4在任务6之前，任务5在任务7之前，任务6在任务8之前。节拍时间设为15分钟。目标是最小化工作站数量。解题过程问题建模定义任务集合 \( T = \{1, 2, \dots, 10\} \) 及处理时间 \( p_ j \)（\( j \in T \)）。顺序约束用有向无环图表示，如边 \( (1,3) \) 表示任务1需在任务3前完成。决策变量：定义工作站分配方案，但直接建模会导致组合爆炸。转而使用集合覆盖模型：变量 \( x_ s \) 表示是否选择任务子集 \( s \)（一个可行的工作站分配），其总时间 \( \leq 15 \) 且满足顺序约束。目标：最小化所选子集数量，约束：每个任务被恰好一个子集覆盖。模型： \[ \min \sum_ s x_ s, \quad \text{s.t.} \sum_ {s: j \in s} x_ s = 1 \ (\forall j \in T) \] 由于可行子集数量庞大，采用列生成法动态生成变量。限制主问题（RMP）初始化初始解：每个任务单独作为一个工作站，生成10个列（子集），例如 \( s_ 1 = \{1\}, s_ 2 = \{2\}, \dots \)。 RMP形式： \[ \min \sum_ {s \in S} x_ s, \quad \text{s.t.} \sum_ {s \in S} a_ {js} x_ s = 1 \ (\forall j \in T), \ x_ s \geq 0 \] 其中 \( a_ {js} = 1 \) 若任务 \( j \) 在子集 \( s \) 中。松弛 \( x_ s \) 为连续变量以应用列生成。列生成迭代步骤1：求解RMP 当前RMP有10个列，求解得对偶变量 \( \pi_ j \)（每个任务约束的影子价格）。步骤2：定价子问题目标：找到负检验数 \( \bar{c} s = 1 - \sum {j \in s} \pi_ j \) 的列 \( s \)。子问题为带顺序约束的背包问题： \[ \max \sum_ {j \in T} \pi_ j y_ j, \quad \text{s.t.} \sum_ j p_ j y_ j \leq 15, \ y_ j \in \{0,1\} \] 且若任务 \( k \) 是任务 \( j \) 的前驱，则 \( y_ j = 1 \) 蕴含 \( y_ k = 1 \)。使用动态规划求解：按拓扑序（如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）处理任务，状态为已选任务总时间。例如，第一轮对偶值可能均匀（如 \( \pi_ j \approx 0.1 \)），子问题可能返回列 \( s = \{1,2,4\} \)（总时间13，价值 \( \sum \pi_ j = 0.3 > 0 \)），检验数 \( \bar{c}_ s = 1 - 0.3 = 0.7 > 0 \)，无负检验数列。调整：若子问题最优值 \( \leq 1 \)，则无改进列；否则添加最优列。步骤3：循环重复求解RMP更新 \( \pi_ j \)，直到子问题最优值 \( \leq 1 \)。此时RMP松弛解最优。整数解获取将最终RMP的列集合作为输入，求解整数规划（如分支定界法）。示例可能得到解：工作站1：任务1,2,4（时间16？需调整），但实际需满足节拍时间。重新搜索后得可行解：工作站1：任务1,2,3（时间14）工作站2：任务4,5,6（时间25？超限）→ 需拆分，最终得分配如：站1: 任务1,3,7 (时间16) → 无效，需回溯满足节拍。实际可行解：站1: 任务1,2 (8分)，站2: 任务3,4 (14分)，站3: 任务5,6 (17分) → 无效（超15分），需重新平衡。最终可能需5个站（如站1:1,2; 站2:3; 站3:4; 站4:5; 站5:6,7,8,9,10 按顺序分拆）。复杂度与优化子问题的动态规划复杂度为 \( O(n \cdot \text{节拍时间}) \)，本例为 \( O(10 \times 15) = 150 \)。列生成大幅减少枚举量，仅生成少数关键列（如20个而非 \( 2^{10} \) 个）。总结通过列生成将组合问题分解为主问题（分配工作站）和子问题（生成可行任务包），有效处理大规模实例。实际应用中需结合分支定价获得整数解。