SHA-3（Keccak）海绵结构中的θ（Theta）步骤详解

题目描述
θ（Theta）是SHA-3（Keccak）海绵结构轮函数中的一个核心步骤，其作用是通过异或操作将每个比特的状态与相邻比特的奇偶性关联起来，实现全局扩散。具体来说，θ步骤通过计算状态阵列中每一列的奇偶性，并将结果扩散到相邻列，从而增强算法的抗碰撞性和扩散性。要求详细解释θ步骤的计算逻辑、参数定义及其在Keccak轮函数中的作用。

解题过程

1. 理解Keccak状态结构

   • Keccak的状态是一个三维结构，可表示为5×5×w的阵列（w为比特深度，例如SHA3-256中w=64）。
   • 状态中的每个比特记为A[x][y][z]，其中x、y为0到4的整数，z为0到w-1的整数。
   • 为简化计算，θ步骤将三维状态视为5×5的平面，每个平面元素是一个w比特的“车道”（lane）。

2. θ步骤的计算公式
   θ步骤分为两部分：

   • 计算列的奇偶性：对每一列（固定x和z），计算该列所有y方向比特的异或和。

     C[x][z] = A[x][0][z] ⊕ A[x][1][z] ⊕ A[x][2][z] ⊕ A[x][3][z] ⊕ A[x][4][z]  
     

     这里C[x][z]是一个长度为w的向量，表示第x列第z层的奇偶性。

   • 扩散奇偶性：将奇偶性向量向左循环移位1位（记为<<< 1），并与相邻列异或：

     A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ C[x-1][z] ⊕ C[x+1][z-1]  
     

     注意：x和z的索引需模5和模w（例如x-1中，若x=0，则x-1取4；z-1中，若z=0，则z-1取w-1）。

3. 分步计算示例（以w=64简化演示）
   假设状态中某车道A[1][2]的值为0x123...（64比特），需计算其经过θ步骤后的值：

   • 步骤1：计算所有x=0,1,2,3,4时，C[x][z]的值（z从0到63）。例如对z=0：
     C[0][0] = A[0][0][0] ⊕ A[0][1][0] ⊕ ... ⊕ A[0][4][0]
   • 步骤2：对A[1][2][0]，需异或C[0][0]和C[2][63]（因为z-1=63 mod 64）：
     A'[1][2][0] = A[1][2][0] ⊕ C[0][0] ⊕ C[2][63]
   • 步骤3：重复以上过程，处理所有x、y、z的组合。

4. θ步骤的设计意义

   • 扩散性：通过奇偶性计算，使单个比特的变化影响相邻两列（x-1和x+1）的所有比特，确保5轮内实现全状态扩散。
   • 对称性抵抗：奇偶性计算和循环移位打破了状态结构的对称性，防止攻击者利用简单模式降低安全性。
   • 效率平衡：θ是Keccak轮函数中计算开销最大的步骤，但因其并行性（每个z可独立计算），硬件实现高效。

5. 与其他步骤的协同
   θ步骤与轮函数中的ρ、π、χ、ι步骤结合：

   • ρ和π步骤通过比特循环移位和位置置换，进一步增强θ的扩散效果。
   • χ步骤（非线性变换）依赖θ提供的扩散性实现S盒作用。
   • ι步骤破坏对称性，防止轮函数陷入重复模式。

总结
θ步骤是Keccak海绵结构中实现全局扩散的关键，通过奇偶性计算和循环移位操作，确保状态比特的充分混合。其设计体现了安全性与效率的平衡，是SHA-3抵抗线性与差分攻击的重要基础。