其中 $ t_j, w_j $ 为公式的节点和权重。  

高斯-勒让德求积公式在带振荡函数积分中的变量替换技巧 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \cos(\omega x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 是光滑函数，但整体被积函数因 \( \cos(\omega x) \) 项在 \( \omega \) 较大时产生高频振荡，导致直接应用高斯-勒让德求积公式需要大量节点才能达到精度要求。目标是设计变量替换技巧，优化积分计算效率。 解题过程 问题分析 高斯-勒让德求积公式在区间 \([ -1, 1 ]\) 上对光滑函数具有高精度，但振荡函数需更多节点才能捕捉振荡细节。 振荡频率 \( \omega \) 越大，积分越困难，因标准公式的节点分布固定，无法自适应振荡特性。 变量替换策略 核心思想：通过变量替换 \( x = g(t) \) 将振荡部分转化为新积分权函数，使剩余部分更光滑。 具体替换：令 \( x = \sin(\theta) \)，则 \( dx = \cos(\theta) d\theta \)，积分变为： \[ I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin\theta) \cos(\omega \sin\theta) \cos\theta \, d\theta. \] 但此形式仍复杂。更有效方案：利用振荡函数的零点结构，将积分区间划分为振荡周期对应的子区间。 区间划分与相位对齐 振荡函数 \( \cos(\omega x) \) 的周期为 \( T = 2\pi / \omega \)。将 \([ -1, 1 ]\) 划分为 \( n \) 个长度为 \( T \) 的子区间（\( n = \lceil 2/T \rceil \)）。 在每个子区间上应用变量替换 \( x = x_ k + \frac{T}{2} t \)，其中 \( x_ k \) 为子区间起点，\( t \in [ -1, 1] \)。此时 \( \cos(\omega x) \) 在子区间内变为 \( \cos(\omega x_ k + \frac{\omega T}{2} t) = \cos(\omega x_ k + \pi t) \)，可利用余弦的对称性简化计算。 结合高斯-勒让德公式 在每个子区间上，积分转换为标准形式： \[ I_ k = \frac{T}{2} \int_ {-1}^{1} f\left(x_ k + \frac{T}{2} t\right) \cos\left(\omega x_ k + \pi t\right) \, dt. \] 对每个 \( I_ k \) 应用 \( m \) 点高斯-勒让德求积公式： \[ I_ k \approx \frac{T}{2} \sum_ {j=1}^{m} w_ j f\left(x_ k + \frac{T}{2} t_ j\right) \cos\left(\omega x_ k + \pi t_ j\right), \] 其中 \( t_ j, w_ j \) 为公式的节点和权重。 总和 \( I \approx \sum_ {k=1}^{n} I_ k \)。 误差与优化 误差主要来源于每个子区间内 \( f(x) \) 的线性近似残差。若 \( f(x) \) 光滑，子区间长度 \( T \) 随 \( \omega \) 增大而减小，误差可控。 优化点：当 \( \omega \) 极大时，可仅在振荡函数的极值点（如 \( \cos(\omega x) = \pm 1 \) 处）附近密集采样，避免均匀划分。 总结 通过区间划分和变量替换，将振荡积分转化为多个子区间上的标准高斯求积问题，显著减少所需节点数，尤其适用于高频振荡函数。此方法平衡了计算效率与精度，是处理振荡积分的实用技巧。