高斯-埃尔米特求积公式在带边界层函数积分中的应用 题目描述 考虑计算带边界层特性的函数积分，例如 \( I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在某个点（如 \( x=0 \)）附近变化剧烈，形成边界层。高斯-埃尔米特求积公式适用于无穷区间上的带权积分，但边界层可能导致标准节点分布无法捕捉函数剧烈变化，需结合变量替换或节点调整技巧以提高精度。 解题过程 问题分析 积分形式：高斯-埃尔米特公式适用于权函数 \( w(x) = e^{-x^2} \) 的积分 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \)。 边界层挑战：若 \( f(x) \) 在小区间内剧烈变化（如 \( f(x) = e^{-(x/\epsilon)^2} \) 且 \( \epsilon \ll 1 \)），标准高斯-埃尔米特节点可能错过边界层区域，导致误差增大。 高斯-埃尔米特公式基础 公式形式：\( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \)，其中 \( x_ i \) 是埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 多项式精度：具有 \( 2n-1 \) 次代数精度，但对非光滑函数效果受限。 边界层处理策略 变量替换法 ：引入伸缩变换 \( x = \epsilon t \)，将积分化为 \( I = \epsilon \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-(\epsilon t)^2} f(\epsilon t) \, dt \)。新权函数 \( e^{-(\epsilon t)^2} \) 的峰值被拉宽，但需注意变换后权函数不再标准，可能需调整公式。 区域分解法 ：将积分区间拆分为边界层内（如 \( [ -a, a ] \)）和外部分，内部用高密度节点（如复合高斯公式），外部用标准高斯-埃尔米特公式。 数值实现步骤 步骤1 ：识别边界层位置与宽度（例如通过导数分析）。 步骤2 ：选择变量替换 \( x = g(t) \) 使边界层区域被拉伸（如 \( g(t) = \epsilon \sinh(t) \)），将积分转为 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-g(t)^2} f(g(t)) g'(t) \, dt \)。 步骤3 ：对新积分应用标准高斯-埃尔米特公式，节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \) 需重新计算或适配。 步骤4 ：验证精度，例如通过增加节点数 \( n \) 观察结果收敛性。 误差控制 边界层区域需保证足够节点密度，可通过局部误差估计调整节点分布。 若 \( f(x) \) 在边界层外平滑，可减少外部节点数以优化计算效率。 总结 通过变量替换或区域分解，高斯-埃尔米特公式可有效处理带边界层的无穷积分，关键在将边界层变换至节点密集区域，从而平衡计算成本与精度。