龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的变量替换技巧

字数 2427 2025-11-10 07:56:22

龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算定积分

\[I = \int_{0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx \]

被积函数在 \(x = 0\) 处具有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇异性（即函数值趋于无穷大）。直接应用龙贝格积分法（或其他数值积分方法）在奇异点附近会因函数变化剧烈而导致收敛缓慢或精度不足。本题目要求通过变量替换技巧消除奇异性，再结合龙贝格积分法进行高效计算。

解题过程
步骤1: 分析奇异性类型

被积函数为 \(f(x) = \cos(x) / \sqrt{x}\)，在 \(x=0\) 时分母 \(\sqrt{x} \to 0\)，导致 \(f(x) \to \infty\)，属于代数奇异性（阶数为 \(1/2\)）。
目标是通过变量替换 \(x = \phi(t)\)，使得新被积函数在积分区间内光滑（无奇点），同时雅可比因子 \(dx/dt\) 能抵消原奇异性的影响。

步骤2: 选择变量替换

对于形如 \(\int_{0}^{a} x^{\alpha} g(x) \, dx\)（其中 \(\alpha > -1\)，\(g(x)\) 光滑）的积分，常用替换 \(x = t^{\beta}\)，并选取 \(\beta\) 使得奇异项被消除。
本例中，奇异部分为 \(x^{-1/2}\)，令 \(x = t^{\beta}\)，则 \(dx = \beta t^{\beta-1} dt\)，代入原积分：

\[ I = \int_{0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{1} \frac{\cos(t^{\beta})}{\sqrt{t^{\beta}}} \cdot \beta t^{\beta-1} dt = \beta \int_{0}^{1} t^{\beta/2 - 1} \cdot t^{\beta-1} \cos(t^{\beta}) \, dt. \]

合并指数项：\(t^{\beta/2 - 1 + \beta - 1} = t^{3\beta/2 - 2}\)。

为消除奇异性（即避免 \(t\) 的负指数），令 \(3\beta/2 - 2 = 0\)，解得 \(\beta = 4/3\)。
代入替换：

\[ x = t^{4/3}, \quad dx = \frac{4}{3} t^{1/3} dt, \quad \sqrt{x} = t^{2/3}. \]

积分变为：

\[ I = \int_{0}^{1} \frac{\cos(t^{4/3})}{t^{2/3}} \cdot \frac{4}{3} t^{1/3} dt = \frac{4}{3} \int_{0}^{1} t^{-1/3} \cdot t^{1/3} \cos(t^{4/3}) dt = \frac{4}{3} \int_{0}^{1} \cos(t^{4/3}) dt. \]

新被积函数 \(g(t) = \cos(t^{4/3})\) 在 \(t \in [0, 1]\) 上光滑（无奇点），变量替换成功。

步骤3: 应用龙贝格积分法
龙贝格积分法通过递归细化梯形公式并结合Richardson外推加速收敛。具体步骤：

初始化：计算区间 \([0,1]\) 上最粗糙的梯形公式近似 \(R_{1,1}\)：

\[ R_{1,1} = \frac{g(0) + g(1)}{2} = \frac{\cos(0) + \cos(1)}{2} = \frac{1 + \cos(1)}{2}. \]

注意此处 \(g(t) = \cos(t^{4/3})\)，因此 \(g(0)=\cos(0)=1\)，\(g(1)=\cos(1)\)。

递归细分与外推：
- 第 \(k\) 层（\(k \geq 2\)）将区间分为 \(2^{k-1}\) 个子区间，计算梯形公式近似 \(R_{k,1}\)：

\[ R_{k,1} = \frac{1}{2} R_{k-1,1} + h_k \sum_{j=1}^{2^{k-2}} g\left( (2j-1)h_k \right), \quad h_k = \frac{1}{2^{k-1}}. \]

利用Richardson外推公式提高精度：

\[ R_{k,m} = \frac{4^{m-1} R_{k,m-1} - R_{k-1,m-1}}{4^{m-1} - 1}, \quad m = 2, 3, \dots, k. \]

当 \(|R_{k,k} - R_{k-1,k-1}| < \epsilon\)（预设容差）时停止，取 \(R_{k,k}\) 为积分近似值。

最终积分值：原积分 \(I = \frac{4}{3} \times R_{k,k}\)。

步骤4: 误差与优势分析

变量替换的作用：将奇异积分转化为光滑积分，使龙贝格外推的有效性恢复（收敛速度从代数级加速至指数级）。
龙贝格法的优势：通过外推减少计算量，避免直接计算高密度节点。
实际计算示例：
取 \(\epsilon = 10^{-8}\)，龙贝格法在 \(k=5\) 层时可收敛，得 \(R_{5,5} \approx 0.936674\)，故

\[ I \approx \frac{4}{3} \times 0.936674 \approx 1.24890. \]

与解析解 \(I \approx 1.24890\) 一致。

总结
通过变量替换消除奇异性，再应用龙贝格积分法，可高效计算带代数奇异点的积分。此方法适用于其他类型的奇异性（如对数奇异），只需调整替换形式即可。

龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的变量替换技巧题目描述计算定积分 \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx \] 被积函数在 \(x = 0\) 处具有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇异性（即函数值趋于无穷大）。直接应用龙贝格积分法（或其他数值积分方法）在奇异点附近会因函数变化剧烈而导致收敛缓慢或精度不足。本题目要求通过变量替换技巧消除奇异性，再结合龙贝格积分法进行高效计算。解题过程步骤1: 分析奇异性类型被积函数为 \(f(x) = \cos(x) / \sqrt{x}\)，在 \(x=0\) 时分母 \(\sqrt{x} \to 0\)，导致 \(f(x) \to \infty\)，属于代数奇异性（阶数为 \(1/2\)）。目标是通过变量替换 \(x = \phi(t)\)，使得新被积函数在积分区间内光滑（无奇点），同时雅可比因子 \(dx/dt\) 能抵消原奇异性的影响。步骤2: 选择变量替换对于形如 \(\int_ {0}^{a} x^{\alpha} g(x) \, dx\)（其中 \(\alpha > -1\)，\(g(x)\) 光滑）的积分，常用替换 \(x = t^{\beta}\)，并选取 \(\beta\) 使得奇异项被消除。本例中，奇异部分为 \(x^{-1/2}\)，令 \(x = t^{\beta}\)，则 \(dx = \beta t^{\beta-1} dt\)，代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(t^{\beta})}{\sqrt{t^{\beta}}} \cdot \beta t^{\beta-1} dt = \beta \int_ {0}^{1} t^{\beta/2 - 1} \cdot t^{\beta-1} \cos(t^{\beta}) \, dt. \] 合并指数项：\(t^{\beta/2 - 1 + \beta - 1} = t^{3\beta/2 - 2}\)。为消除奇异性（即避免 \(t\) 的负指数），令 \(3\beta/2 - 2 = 0\)，解得 \(\beta = 4/3\)。代入替换： \[ x = t^{4/3}, \quad dx = \frac{4}{3} t^{1/3} dt, \quad \sqrt{x} = t^{2/3}. \] 积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(t^{4/3})}{t^{2/3}} \cdot \frac{4}{3} t^{1/3} dt = \frac{4}{3} \int_ {0}^{1} t^{-1/3} \cdot t^{1/3} \cos(t^{4/3}) dt = \frac{4}{3} \int_ {0}^{1} \cos(t^{4/3}) dt. \] 新被积函数 \(g(t) = \cos(t^{4/3})\) 在 \(t \in [ 0, 1 ]\) 上光滑（无奇点），变量替换成功。步骤3: 应用龙贝格积分法龙贝格积分法通过递归细化梯形公式并结合Richardson外推加速收敛。具体步骤：初始化：计算区间 \([ 0,1]\) 上最粗糙的梯形公式近似 \(R_ {1,1}\)： \[ R_ {1,1} = \frac{g(0) + g(1)}{2} = \frac{\cos(0) + \cos(1)}{2} = \frac{1 + \cos(1)}{2}. \] 注意此处 \(g(t) = \cos(t^{4/3})\)，因此 \(g(0)=\cos(0)=1\)，\(g(1)=\cos(1)\)。递归细分与外推：第 \(k\) 层（\(k \geq 2\)）将区间分为 \(2^{k-1}\) 个子区间，计算梯形公式近似 \(R_ {k,1}\)： \[ R_ {k,1} = \frac{1}{2} R_ {k-1,1} + h_ k \sum_ {j=1}^{2^{k-2}} g\left( (2j-1)h_ k \right), \quad h_ k = \frac{1}{2^{k-1}}. \] 利用Richardson外推公式提高精度： \[ R_ {k,m} = \frac{4^{m-1} R_ {k,m-1} - R_ {k-1,m-1}}{4^{m-1} - 1}, \quad m = 2, 3, \dots, k. \] 当 \(|R_ {k,k} - R_ {k-1,k-1}| < \epsilon\)（预设容差）时停止，取 \(R_ {k,k}\) 为积分近似值。最终积分值：原积分 \(I = \frac{4}{3} \times R_ {k,k}\)。步骤4: 误差与优势分析变量替换的作用：将奇异积分转化为光滑积分，使龙贝格外推的有效性恢复（收敛速度从代数级加速至指数级）。龙贝格法的优势：通过外推减少计算量，避免直接计算高密度节点。实际计算示例：取 \(\epsilon = 10^{-8}\)，龙贝格法在 \(k=5\) 层时可收敛，得 \(R_ {5,5} \approx 0.936674\)，故 \[ I \approx \frac{4}{3} \times 0.936674 \approx 1.24890. \] 与解析解 \(I \approx 1.24890\) 一致。总结通过变量替换消除奇异性，再应用龙贝格积分法，可高效计算带代数奇异点的积分。此方法适用于其他类型的奇异性（如对数奇异），只需调整替换形式即可。