高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cdot \cos(x) \, dx \] 被积函数为指数衰减的振荡函数（\(e^{-x}\)为衰减因子，\(\cos(x)\)为振荡部分）。要求使用 高斯-拉盖尔求积公式 ，并讨论如何通过权函数匹配优化精度。 解题过程 1. 高斯-拉盖尔求积公式简介 高斯-拉盖尔公式用于计算形如 \(\int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\) 的积分。其基本形式为： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中，节点 \(x_ i\) 是拉盖尔多项式 \(L_ n(x)\) 的根，权重 \(w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2}\)。公式对 \(f(x)\) 为次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式时精确成立。 2. 问题分析 被积函数 \(f(x) = \cos(x)\) 不是多项式，但振荡特性可通过权函数匹配部分处理： 高斯-拉盖尔公式的权函数 \(e^{-x}\) 恰好匹配积分中的衰减因子，剩余部分 \(\cos(x)\) 由求积公式近似。 振荡函数在无穷区间上积分收敛，但需要足够多的节点捕捉振荡行为。 3. 权函数匹配的优势 若直接使用其他求积法（如复合梯形法），需截断无穷区间引入误差。高斯-拉盖尔公式直接利用权函数 \(e^{-x}\)，避免截断误差，且节点自然分布在衰减显著的区域（靠近原点），更适合衰减型被积函数。 4. 节点与权重的计算 以 \(n=2\) 为例演示计算过程： 拉盖尔多项式 \(L_ 2(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 2)\)，根为 \(x_ {1,2} = 2 \pm \sqrt{2}\)。 权重公式： \[ w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2} \] 需计算 \(L_ 3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)\) 在节点处的值（具体计算略）。 实际应用中直接查表或调用数值库获取节点权重。 5. 积分近似计算 对 \(n=2\)，近似值为： \[ I \approx w_ 1 \cos(x_ 1) + w_ 2 \cos(x_ 2) \] 随着 \(n\) 增大，节点增多，能更好捕捉 \(\cos(x)\) 的振荡。例如 \(n=5\) 时结果已接近精确值 \(I = \frac{1}{2}\)（解析解由积分公式 \(\int e^{-ax}\cos(bx) dx = \frac{a}{a^2+b^2}\) 可得）。 6. 误差分析与改进 误差来源 ：高斯-拉盖尔公式的误差项与 \(f^{(2n)}(\xi)\) 相关。由于 \(\cos(x)\) 的高阶导数无界，理论上误差可能随 \(n\) 增大而震荡，但实际因衰减因子压制，误差仍收敛。 改进策略 ： 增加节点数 \(n\) 直至结果稳定。 若振荡频率更高（如 \(\cos(kx)\)），可考虑变量替换 \(t = kx\) 将振荡尺度标准化。 7. 总结 高斯-拉盖尔公式通过权函数匹配自然处理半无穷积分中的指数衰减，对振荡函数只需适当增加节点即可高效计算。该方法避免了区间截断，显著优于普通数值积分法。