非线性规划中的隐式梯度法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 其中 x = (x₁, x₂) ∈ ℝ²。 要求使用隐式梯度法求解该问题，并分析其收敛性。 解题过程： 1. 问题理解与隐式梯度法介绍 目标函数 f(x) 由两项组成：(x₁ - 2)⁴ 和 (x₁ - 2x₂)²，均为非线性项 隐式梯度法适用于目标函数或约束难以显式求导的情况，通过数值方式或隐式关系计算梯度方向 本问题中梯度可显式计算，但作为基础题，我们演示隐式梯度法的核心思想：将梯度计算转化为优化子问题 2. 梯度计算的传统方法与隐式方法对比 显式梯度：∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ] 隐式梯度法思想：将梯度方向 d 视为最小化 f(x + d) 的线性近似问题的解 具体来说，在点 xₖ 处，求解子问题：min‖d‖≤Δₖ f(xₖ) + ∇f(xₖ)ᵀd + ½dᵀBₖd 当 Bₖ = 0 时，得到负梯度方向；当 Bₖ ≠ 0 时，得到拟牛顿方向 3. 隐式梯度法具体步骤 步骤1：初始化 初始点 x₀ = (0, 0)，初始信赖域半径 Δ₀ = 0.5 收敛阈值 ε = 10⁻⁶，最大迭代次数 K = 1000 步骤2：迭代过程（第k次迭代） 子问题构造 ：在 xₖ 处构造二次模型： mₖ(d) = f(xₖ) + ∇f(xₖ)ᵀd + ½dᵀBₖd 子问题求解 ：求解 min‖d‖≤Δₖ mₖ(d) 得到步长 dₖ 当 Bₖ = 0 时，简化为 dₖ = -Δₖ∇f(xₖ)/‖∇f(xₖ)‖ 本问题中，为演示隐式思想，我们采用简化形式 步骤3：实际下降量与预测下降量比较 实际下降量：Δfₖ = f(xₖ) - f(xₖ + dₖ) 预测下降量：Δmₖ = mₖ(0) - mₖ(dₖ) 比值 rₖ = Δfₖ/Δmₖ 步骤4：信赖域半径更新 若 rₖ < 0.25：Δₖ₊₁ = 0.25Δₖ（模型拟合差，缩小信赖域） 若 rₖ > 0.75 且 ‖dₖ‖ = Δₖ：Δₖ₊₁ = min(2Δₖ, Δ_ max)（模型拟合好，扩大信赖域） 否则：Δₖ₊₁ = Δₖ（保持当前半径） 步骤5：迭代点更新 若 rₖ > 0.1：xₖ₊₁ = xₖ + dₖ（接受新点） 否则：xₖ₊₁ = xₖ（拒绝新点，保持原點） 4. 具体计算过程 迭代1：x₀ = (0, 0) ∇f(x₀) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)] = [ -32, 0 ] ‖∇f(x₀)‖ = 32 d₀ = -0.5 × [ -32, 0]/32 = [ 0.5, 0 ] x₁ = x₀ + d₀ = (0.5, 0) f(x₀) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 f(x₁) = (0.5-2)⁴ + (0.5-0)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 Δf = 16 - 5.3125 = 10.6875 Δm = -∇f(x₀)ᵀd₀ = 32 × 0.5 = 16 r₀ = 10.6875/16 ≈ 0.668 由于 r₀ > 0.1，接受新点；r₀ < 0.75，保持 Δ₁ = 0.5 迭代2：x₁ = (0.5, 0) ∇f(x₁) = [ 4(0.5-2)³ + 2(0.5-0), -4(0.5-0)] = [ 4×(-3.375) + 1, -2] = [ -13.5+1, -2] = [ -12.5, -2 ] ‖∇f(x₁)‖ ≈ √(156.25 + 4) ≈ 12.65 d₁ = -0.5 × [ -12.5, -2]/12.65 ≈ [ 0.494, 0.079 ] x₂ = (0.5+0.494, 0+0.079) = (0.994, 0.079) f(x₂) ≈ (0.994-2)⁴ + (0.994-0.158)² ≈ 1.024 + 0.699 ≈ 1.723 Δf = 5.3125 - 1.723 = 3.5895 Δm = -∇f(x₁)ᵀd₁ ≈ -([ -12.5, -2]·[ 0.494, 0.079 ]) ≈ -(-6.175 - 0.158) = 6.333 r₁ ≈ 3.5895/6.333 ≈ 0.567 接受新点，保持 Δ₂ = 0.5 5. 收敛性分析 继续迭代，梯度范数逐渐减小：32 → 12.65 → ... 最优解 x* = (2, 1)，f(x* ) = 0 隐式梯度法通过信赖域机制保证全局收敛性 在最优解附近，若采用牛顿方向（Bₖ = ∇²f(xₖ)），可达到二次收敛 6. 算法特点总结 隐式梯度法将梯度计算转化为优化子问题 通过信赖域控制步长，保证算法稳定性 适用于梯度难以显式计算或计算代价高的复杂问题 本问题展示了从初始点 (0,0) 向最优解 (2,1) 的收敛过程